자연계열 1번

[문제 1-1](1) 삼각형의 넓이 공식에 의하여 $\displaystyle S_1=\frac12\cdot3\cdot2\cdot\sin\theta=3\sin\theta$이다.그리고 삼각비에 의하여 $\displaystyle S_2=\frac12\cdot(3+2\cos(\pi-\theta))\cdot(2\sin(\pi-\theta))=(3-2\cos\theta)\sin\theta$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{\theta\to\pi^-}\frac{S_1}{S_2}=\lim_{\theta\to\pi^-}\frac3{3-2\cos\theta}=\frac35$이다.

(2) $\displaystyle b=\overline{\mathrm{AP}}$라 하자. 코사인 법칙에 의하여$\displaystyle b^2=3^2+2^2-2\cdot3\cdot2\cdot\cos\theta=13-12\cos\theta$이고,

사인 법칙에 의하여$\displaystyle \frac b{\sin\theta}=2R,\text{ 즉 }R=\frac{\sqrt{13-12\cos\theta}}{2\sin\theta}$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dR}{d\theta}&=\frac12\cdot\frac{\frac{12\sin\theta}{2\sqrt{13-12\cos\theta}}\sin\theta-\sqrt{13-12\cos\theta}\cos\theta}{\sin^2\theta}\\&=\frac12\cdot\frac{6\sin^2\theta-(13-12\cos\theta)\cos\theta}{\sin^2\theta\sqrt{13-12\cos\theta}}\\&=\frac{6\cos^2\theta-13\cos\theta+6}{2\sin^2\theta\sqrt{13-12\cos\theta}}\\&=\frac{(2\cos\theta-3)(3\cos\theta-2)}{2\sin^2\theta\sqrt{13-12\cos\theta}}\end{aligned}$이다. 이로부터 $\displaystyle R$은 $\displaystyle \cos\theta=\frac23$일 때 최솟값을 가짐을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt5}3$이다.

[문제 1-2] (1) 직선 AB가 원에 접할 때 두 직선 OA와 AB는 수직이다. 즉, 삼각형 OAB는 직각삼각형이다.

피타고라스 정리로부터 빗변 OB의 길이는 $\displaystyle \sqrt{10}$이다.

따라서 $\displaystyle \cos t_0=\frac1{\sqrt{10}}$임을 알 수 있다.

(2) 시각 $\displaystyle t$일 때 점 B의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \alpha=\cos t+\sqrt{9-\sin^2t}$이고,

점 P는 원 $\displaystyle (x-4)^2+y^2=4$와 원 $\displaystyle (x-\alpha)^2+y^2=4$의 교점이다. 따라서 점 P의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{\alpha+4}{2}$이다.

점 P는 원 $\displaystyle C_2$ 위의 점이므로$\displaystyle f(t)=x^2+y^2=8x-12=4\alpha+4=4(\cos t+\sqrt{9-\sin^2t})$Correction. 마지막 식에 $\displaystyle +4$가 빠졌다. $\displaystyle f(t)=4(\cos t+\sqrt{9-\sin^2t})+4$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고$\displaystyle f^{\prime}(t)=-4\sin t-\frac{4\sin t\cos t}{\sqrt{9-\sin^2t}}$이다.

[문제 1-2] (1)로부터 $\displaystyle \cos t_0=\frac1{\sqrt{10}}$, $\displaystyle \sin t_0=\frac3{\sqrt{10}}$이므로$\displaystyle f^{\prime}(t_0)=-4\cdot\frac3{\sqrt{10}}\left(1+\frac19\right)=-\frac{4\sqrt{10}}3$이다.

(3) 시각 $\displaystyle t$에서의 점 P의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle g(t)$라 하면$\displaystyle g(t)=\frac\alpha2+2=\frac{\cos t+\sqrt{9-\sin^2t}}2+2$이다.

$\displaystyle g^{\prime}(t)=-\sin t-\frac{\sin t\cos t}{\sqrt{9-\sin^2t}}=-\frac{\sin t(\sqrt{9-\sin^2t}+\cos t)}{\sqrt{9-\sin^2t}}$Correction. $\displaystyle g^{\prime}(t)$를 구한 식에 계수 $\displaystyle \frac12$이 빠졌다. 도함수의 부호와 구하는 호의 길이에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle g(t)$의 최솟값은 $\displaystyle g(\pi)=3$, 최댓값은 $\displaystyle g(0)=4$이다.

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac\pi6$인 호이고, 그 길이는 $\displaystyle 2\cdot\frac\pi6=\frac\pi3$이다.