자연계열 2번

(가) 정적분의 치환적분법 $\displaystyle \int_a^bf(g(x))g^{\prime}(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du$은 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 통해 이해할 수 있다. 닫힌구간 $\displaystyle [0,c]$에서 $\displaystyle y=f(g(x))g^{\prime}(x)>0$라 하고, 도형의 넓이 $\displaystyle S=\int_0^cf(g(x))g^{\prime}(x)\,dx$를 급수의 합으로 구해 보자. 구간 $\displaystyle [0,c]$를 $\displaystyle n$ 등분한 후, 각 소구간의 길이 $\displaystyle \frac cn$를 밑변으로 하고 각 소구간의 오른쪽 끝점에서의 $\displaystyle y$의 값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle R_n$이라 하자. 그러면 $\displaystyle R_n=\frac cn\sum_{k=1}^nf\left(g\left(\frac{kc}n\right)\right)g^{\prime}\left(\frac{kc}n\right)$이다. 이때, $\displaystyle k$번째 소구간에서의 직사각형은 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac cn$이고 높이가 $\displaystyle f\left(g\left(\frac{kc}n\right)\right)g^{\prime}\left(\frac{kc}n\right)$이다. 이 직사각형을 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac cn g^{\prime}\left(\frac{kc}n\right)$이고 높이가 $\displaystyle f\left(g\left(\frac{kc}n\right)\right)$인 직사각형으로 변환한 것을 ‘변환 직사각형’이라 하자.Caution. 식을 길이나 넓이로 해석할 때는 그 값이 음이 아닌지 확인해야 한다: 변환 직사각형의 밑변과 높이를 길이로 해석하려면 $\displaystyle g^{\prime}(x)$와 $\displaystyle f(g(x))$가 각각 음이 아니어야 한다. 두 값의 곱이 양수라는 조건만으로는 충분하지 않다. 이 문제에 주어진 함수들은 이 조건을 만족한다. 각 소구간에 대한 ‘변환 직사각형’을 직선 $\displaystyle x=g(0)$의 오른쪽으로 밑변이 $\displaystyle x$축 위에 놓이도록 차례로 붙였을 때, 맨 마지막 직사각형의 오른쪽 변의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle a_n$이라 하자. 이때 첫 번째 ‘변환 직사각형’의 왼쪽 변은 $\displaystyle x=g(0)$에 놓인다. [그림 4]는 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle f(x)=\sin x$, $\displaystyle g(x)=\frac{x^2}2$일 때 $\displaystyle R_4$의 직사각형들을 나타내고, [그림 5]는 $\displaystyle R_4$의 각 직사각형에 대응하는 ‘변환 직사각형’과 $\displaystyle a_4\ (=2.5)$를 나타낸다.

(나) 치환적분법을 이용하면 함수의 그래프가 원점에 대하여 대칭인 함수에 대한 간단한 적분 공식을 얻을 수 있다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 원점에 대하여 대칭이라고 하자. 즉, $\displaystyle f(-x)=-f(x)$라고 하자. $\displaystyle x=-t$로 놓으면 치환적분법에 의하여 다음을 얻는다.$\displaystyle \int_{-a}^0 f(x)\,dx=\int_a^0f(-t)(-1)\,dt=\int_a^0f(t)\,dt=-\int_0^af(t)\,dt$따라서$\displaystyle \int_{-a}^af(x)\,dx=\int_{-a}^0f(x)\,dx+\int_0^af(x)\,dx=-\int_0^af(x)\,dx+\int_0^af(x)\,dx=0$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭일 때, 즉 $\displaystyle f(-x)=f(x)$이면 치환적분법을 이용하여$\displaystyle \int_{-a}^af(x)\,dx=2\int_0^af(x)\,dx$를 얻을 수 있다.

한편, 모든 연속함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 $\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)$라 하면 $\displaystyle g(-x)=-g(x)$이므로 함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고, $\displaystyle h(x)=f(x)+f(-x)$라 하면 $\displaystyle h(-x)=h(x)$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이다. 이를 이용하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 함수의 그래프가 원점에 대하여 대칭인 함수 $\displaystyle f_O$와 함수의 그래프가 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭인 함수 $\displaystyle f_E$의 합으로 나타낼 수 있다. 즉, $\displaystyle f(x)=f_O(x)+f_E(x)$이며, $\displaystyle f_O$와 $\displaystyle f_E$는 유일하게 결정된다.