자연계열 2번

[문제 2-1](1) 닫힌구간 $\displaystyle [0,2]$를 $\displaystyle n$ 등분하면 각 소구간의 길이는 $\displaystyle \frac2n$이고 각 소구간의 오른쪽 끝점의 $\displaystyle y$의 값은 $\displaystyle \frac{2k}n\sin\frac{2k^2}{n^2}$이다. 각 소구간의 직사각형에 대한 ‘변환 직사각형’의 밑변의 길이는 $\displaystyle \frac2n\cdot\frac{2k}n$이다.

따라서$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac2n\cdot\frac{2k}n=\frac4{n^2}\sum_{k=1}^nk=\frac4{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac{2(n+1)}n$이다.

그러므로$\displaystyle a_7=\frac{2(7+1)}7=\frac{16}7$이다.

(2) [문제 2-1]의 (1)의 풀이에서 구한 $\displaystyle a_n$을 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}n=2$이다.

(3) [문제 2-1]의 1)의 풀이에서 구한 $\displaystyle a_n$을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=2}^{2026}\frac{a_n}{n^2-1}&=\sum_{n=2}^{2026}\frac{2(n+1)}{n(n^2-1)}=2\sum_{n=2}^{2026}\frac1{n(n-1)}\quad\cdots\text{㉮}\\&=2\sum_{n=2}^{2026}\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)\quad\cdots\text{㉯}\\&=2\left\{\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{2025}-\frac1{2026}\right)\right\}=2\left(1-\frac1{2026}\right)=\frac{2025}{1023}=\frac{675}{341}\end{aligned}$Correction. $\displaystyle 2(1-\frac1{2026})=\frac{2025}{1013}$이므로 마지막 답 $\displaystyle \frac{675}{341}$은 잘못되었다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle f_O(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2$, $\displaystyle f_E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2$라 하면 $\displaystyle f_O(-x)=-f_O(x)$, $\displaystyle f_E(-x)=f_E(x)$이고 $\displaystyle f(x)=f_O(x)+f_E(x)$를 만족한다. 제시문 (나)의 대칭인 함수에 관한 적분 공식을 이용하면$\displaystyle \int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f(x)\,dx=\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f_O(x)\,dx+\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f_E(x)\,dx=2\int_0^{\frac\pi3}f_E(x)\,dx$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}f_E(x)&=\frac{f(x)+f(-x)}2=\frac12\left(\frac{\cos x}{1+\sec x+\tan x}+\frac{\cos x}{1+\sec x-\tan x}\right)\\&=\frac12\cdot\frac{2\cos x(1+\sec x)}{(1+\sec x+\tan x)(1+\sec x-\tan x)}=\frac{\cos x(1+\sec x)}{1+2\sec x+\sec^2x-\tan^2x}\\&=\frac{\cos x(1+\sec x)}{2(1+\sec x)}=\frac{\cos x}2\end{aligned}$이므로

$\displaystyle \int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f(x)\,dx=2\int_0^{\frac\pi3}f_E(x)\,dx=\int_0^{\frac\pi3}\cos x\,dx=\Biggl[\sin x\Biggr]_0^{\pi/3}=\frac{\sqrt3}2$이다.

(2) [문제 2-2]의 (1)의 풀이를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}g(t)&=\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f\left(\frac x{3^{t-1}}\right)\,dx=\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f_O\left(\frac x{3^{t-1}}\right)\,dx+\int_{-\frac\pi3}^{\frac\pi3}f_E\left(\frac x{3^{t-1}}\right)\,dx=2\int_0^{\frac\pi3}f_E\left(\frac x{3^{t-1}}\right)\,dx\\&=\int_0^{\frac\pi3}\cos\frac x{3^{t-1}}\,dx=3^{t-1}\sin\frac\pi{3^t}\end{aligned}$이다.

따라서$\displaystyle \lim_{t\to\infty}g(t)=\lim_{t\to\infty}3^{t-1}\sin\frac\pi{3^t}=\lim_{t\to\infty}\frac\pi3\frac{\sin\frac\pi{3^t}}{\frac\pi{3^t}}=\frac\pi3\lim_{a\to0}\frac{\sin a}a=\frac\pi3.$