자연계열 1번

[문제 1-1](1) 함수 $\displaystyle f(x)\ (x>0)$의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=(nx^{n-1}-x^n)e^{-x}=(n-x)x^{n-1}e^{-x},$$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(n(n-1)x^{n-2}-2nx^{n-1}+x^n)e^{-x}=(n(n-1)-2nx+x^2)x^{n-2}e^{-x}.$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$과 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$을 만족하는 양수 $\displaystyle x$를 구하면 $\displaystyle c_n=n$, $\displaystyle a_n=n-\sqrt n$, $\displaystyle b_n=n+\sqrt n$이다.

제시문에 주어진 것처럼 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (a_n,b_n)$에서 위로 볼록이고, 따라서 선분 AC와 선분 CB은 곡선의 아래에 있다. 그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a_n$, $\displaystyle x=b_n$으로 둘러싸인 도형의 넓이는 선분 AC, 선분 CB 와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a_n$, $\displaystyle x=b_n$으로 둘러싸인 오각형 도형의 넓이 $\displaystyle S_n$보다 크다.

한편 $\displaystyle S_n$은 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\frac12(f(a_n)+f(c_n))(b_n-c_n)+\frac12(f(c_n)+f(b_n))(c_n-a_n)=\frac12(f(a_n)+2f(c_n)+f(b_n))\sqrt n.$

이 식을 관찰하면 $\displaystyle n\ge4$인 자연수에 대하여 $\displaystyle S_n\ge f(c_n)\sqrt n=\left(\frac ne\right)^n\sqrt n\ge\left(\frac43\right)^n$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle n$의 값이 한없이 커질 때 수열 $\displaystyle \{S_n\}$은 발산한다.

(3) $\displaystyle a_n=n-\sqrt n=\left(\sqrt n-\frac12\right)^2-\frac14$이다. 이차함수 $\displaystyle g(x)=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14$가 열린구간 $\displaystyle \left(\frac12,\infty\right)$에서 증가하고 $\displaystyle n\ge3$인 자연수에 대하여 $\displaystyle \sqrt n>\frac12$이므로$\displaystyle a_n\ge a_3=3-\sqrt3\ge3-2=1$이다.

(4) 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a_n,f(a_n))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y-f(a_n)=f^{\prime}(a_n)(x-a_n)$이다. 따라서 이 접선과 $\displaystyle x$축이 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle d_n$은

$\displaystyle d_n=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime}(a_n)}=a_n-\frac{a_n^ne^{-a_n}}{(n-a_n)a_n^{n-1}e^{-a_n}}=a_n-\frac{a_n}{n-a_n}=(n-\sqrt n)-\frac{n-\sqrt n}{\sqrt n}=n-2\sqrt n+1$또는 $\displaystyle (\sqrt n-1)^2$이다.

(5) [문제 1-1]의 (2)의 풀이에 있는 표를 참고하면 제시문에 주어진 것처럼 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,a_n)$에서 아래로 볼록이다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 A에서의 접선은 곡선의 아래에 있다. 그러므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 직선 $\displaystyle x=a_n$으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle T_n$보다 크다.

한편 $\displaystyle T_n$은 다음과 같다.$\displaystyle T_n=\frac12f(a_n)(a_n-d_n).$

함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (0,c_n)$에서 증가하므로 [문제 1-1]의 (3)과 (4)를 이용하면$\displaystyle T_n\ge\frac12f(1)(\sqrt n-1)=\frac12 1^ne^{-1}(\sqrt n-1)$이고 $\displaystyle n$의 값이 한없이 커질 때 수열 $\displaystyle \{T_n\}$은 발산한다.

[문제 1-2](1) 하나의 ‘기록’에서 $\displaystyle n$개의 칸 중 $\displaystyle 1$이 적힌 칸의 개수 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle n$이하의 자연수 중 하나이다. 따라서 나머지 $\displaystyle n-k$개의 칸에는 $\displaystyle -1$이 적혀 있고 이때 $\displaystyle m=k+(-1)(n-k)$가 된다. 그러므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 가능한 ‘기록값’ $\displaystyle m$은 $\displaystyle m=2k-n$이다. (단, $\displaystyle 0\le k\le n$) 즉 $\displaystyle -n$에서 $\displaystyle 2$씩 더해 나간 $\displaystyle n+1$개의 값이다. 특히 $\displaystyle n$이 짝수인 경우 $\displaystyle m=0$이 가능한 기록값에 포함된다.

각 $\displaystyle m=2k-n$을 ‘기록값’으로 가지는 서로 다른 ‘기록’의 개수는 $\displaystyle n$개의 칸에서 순서를 생각하지 않고 $\displaystyle k$개를 선택하는 조합의 수 $\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$와 같고, $\displaystyle k=\frac{n+m}{2}$이므로$\displaystyle \frac{n!}{\left(\frac{n+m}{2}\right)!\left(\frac{n-m}{2}\right)!}$이다.

(2) $\displaystyle n$이 어떤 짝수의 제곱이므로 $\displaystyle n=4l^2$의 꼴로 표현할 수 있다. (단, $\displaystyle l$은 자연수)

이차방정식 $\displaystyle x^2+mx+n=0$의 근이 중근 또는 서로 다른 두 허근이 되려면 $\displaystyle m^2-4n\le0$ 또는 $\displaystyle |m|\le4l$이어야 한다. $\displaystyle m$의 가장 큰 값 $\displaystyle 4l$을 ‘기록값’으로 가지는 서로 다른 ‘기록’의 개수 $\displaystyle p_n$은 [문제 1-2]의 (1)의 풀이를 이용하면$\displaystyle p_n=\frac{(4l^2)!}{(2l^2+2l)!(2l^2-2l)!}$으로 표현할 수 있다. (단, $\displaystyle n=4l^2$) 한편 $\displaystyle n$이 짝수이므로 절댓값이 가장 작은 $\displaystyle m$의 값은 $\displaystyle 0$이다. 따라서 $\displaystyle m=0$을 ‘기록값’으로 가지는 서로 다른 ‘기록’의 개수 $\displaystyle q_n$은$\displaystyle q_n=\frac{(4l^2)!}{(2l^2)!(2l^2)!}$이다. 그러므로$\displaystyle \frac{p_n}{q_n}=\frac{(2l^2)!(2l^2)!}{(2l^2+2l)!(2l^2-2l)!}$이며 계승의 정의에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\frac{p_n}{q_n}&=\frac{(2l^2)(2l^2-1)\cdots(2l^2-2l+1)}{(2l^2+2l)(2l^2+2l-1)\cdots(2l^2+1)}\\&=\frac{2l^2+2l-2l}{2l^2+2l}\times\frac{2l^2+2l-1-2l}{2l^2+2l-1}\times\cdots\times\frac{2l^2+1-2l}{2l^2+1}\end{aligned}$과 같이 $\displaystyle 2l$개의 $\displaystyle 1$보다 작은 분수의 곱으로 정리할 수 있다.

이제 부등식 $\displaystyle \frac{a+1-b}{a+1}\ge\frac{a-b}{a}$ (단, $\displaystyle a>0,b>0$)을 이용하면 다음을 관찰할 수 있다.$\displaystyle \left(\frac{2l^2+1-2l}{2l^2+1}\right)^{2l}\le\frac{p_n}{q_n}\le\left(\frac{2l^2+2l-2l}{2l^2+2l}\right)^{2l}.$ (단, $\displaystyle n=4l^2$)또한$\displaystyle \left(\frac{2l^2+1-2l}{2l^2+1}\right)^{2l}=\left(1-\frac{2l}{2l^2+1}\right)^{2l}\ge\left(1-\frac{2l}{2l^2}\right)^{2l}=\left(1-\frac1l\right)^{2l},$$\displaystyle \left(\frac{2l^2+2l-2l}{2l^2+2l}\right)^{2l}=\left(\frac{l}{l+1}\right)^{2l}=\frac{1}{\left(1+\frac1l\right)^{2l}}$의 관찰을 이용하면$\displaystyle \left(1-\frac1l\right)^{2l}\le\frac{p_n}{q_n}\le\frac1{\left(1+\frac1l\right)^{2l}}$이 성립함을 알 수 있다.

이제 $\displaystyle \lim_{x\to0}(1+ax)^{\frac bx}=e^{ab}$ (단, $\displaystyle a\ne0,b\ne0$)를 이용하면$\displaystyle \lim_{l\to\infty}\left(1-\frac1l\right)^{2l}=e^{-2},\quad\lim_{l\to\infty}\left(1+\frac1l\right)^{2l}=e^2$이므로 $\displaystyle n$이 짝수의 제곱으로써 한없이 커질 때 수열 $\displaystyle \left\{\frac{p_n}{q_n}\right\}$은 $\displaystyle e^{-2}$로 수렴함을 알 수 있다.