자연계열 2번

아주대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2027mo/jayeon_2

[문항 2] 【제시문】을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 음이 아닌 정수 $\displaystyle p$ 에 대해 함수 $\displaystyle f(x)=(x-p)^2-25$ 를 생각하자. 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 를 다음과 같이 정의하면, $\displaystyle g(x)=\begin{cases}-f(x)&(p-5<x<p+5)\\f(x)&(x\le p-5\text{ 또는 }x\ge p+5),\end{cases}$ 모든 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle g(x)\ge0$ 이다.

자연수 $\displaystyle k$ 에 대해 직선 $\displaystyle y=k$ 위의 점 중에서 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle 0$ 이상 $\displaystyle 20$ 이하의 정수인 점들을 생각하자. 이때 $\displaystyle g(x)>k$ 인 점의 개수를 $\displaystyle b_k$ , $\displaystyle g(x)\le k$ 인 점의 개수를 $\displaystyle c_k$ 라 하고, $\displaystyle a_k=b_k-c_k$ 라 하자. [그림 2]는 $\displaystyle p=10$ , $\displaystyle k=10$ 인 경우를 나타낸다. 여기서 $\displaystyle a_{10}=13$ , $\displaystyle b_{10}=17$ , $\displaystyle c_{10}=4$ 이다.

(나) 모눈종이에는 일정한 간격으로 여러 개의 가로줄과 세로줄이 서로 직각이 되도록 그려져 있어서 바둑판과 같은 격자를 이루고 있다. 가로줄과 세로줄이 만나는 점을 격자점이라 하고, 한 격자점과 바로 옆의 격자점 사이의 거리를 $\displaystyle \ell$ 이라 하자. 모눈종이의 한 격자점을 원점으로 하고 원점을 지나는 가로줄과 세로줄을 따라 $\displaystyle x$ 축과 $\displaystyle y$ 축을 나타내면, 좌표평면 위의 함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

(가) 에서 정의한 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=39$ 의 그래프의 교점을 $\displaystyle x$ 좌표의 값이 작은 순서대로 각각 점 A, E라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{B}(p-5,0)$ , $\displaystyle \mathrm{C}(p,25)$ , $\displaystyle \mathrm{D}(p+5,0)$ 라 하고 [그림 3]과 같이 점 A, B, C, D, E를 지나면서 열린구간 $\displaystyle (-\infty,p-5)$ , $\displaystyle (p-5,p)$ , $\displaystyle (p,p+5)$ , $\displaystyle (p+5,\infty)$ 에서 각각 직선인 함수를 $\displaystyle y=h(x)$ 라 하자.

모눈종이 위에 그린 좌표평면에 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 와 $\displaystyle y=39$ 로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle S$ 라 하고, $\displaystyle S$ 와 모눈종이의 정사각형이 겹치면 그 정사각형을 색칠하자. (단, 제 $\displaystyle 1$ 사분면에 있는 정사각형만 색칠하고, 정사각형의 변이나 꼭짓점만 겹치는 경우는 색칠하지 않는다.) 이렇게 색칠된 영역을 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’라고 하자. [그림 3]은 $\displaystyle \ell=1$ , $\displaystyle p=10$ 일 때, 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=39$ 에 대한 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’를 나타낸 것이다. 이때 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에는 한 변의 길이가 $\displaystyle \ell$ 인 정사각형이 모두 $\displaystyle 446$ 개 포함되어 있음을 알 수 있다.

[문제 2-1] (20점)제시문 (가)를 읽고 물음에 답하시오.(1) (10점) $\displaystyle p=10$ 에 대하여, 다음 합을 구하시오. $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$ (2) (10점) $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$ 가 최소가 되도록 하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값을 구하시오.Correction. 대학은 2026년 10월 15일자 수정사항에서 [문제 2-1] (2)의 “최소가 되도록”을 “최대가 되도록”으로 수정했다. 합 $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$ 가 최대가 되도록 하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값을 묻는 문제이다. 채점기준의 풀이도 이에 맞춰 수정하고 설명을 추가했다. 수정본에서는 $\displaystyle b_k=21$ , $\displaystyle c_k=0$ 인 경우를 다루며, 구하는 $\displaystyle p$ 의 최솟값은 $\displaystyle 28$ 이다.아주대학교 입학처 · 2027학년도 모의논술 수정사항

[문제 2-2] (30점)제시문 (가)와 (나)에 대한 다음 물음에 답하시오.(1) (8점) $\displaystyle a_{30}<0$ 이 되는 정수 $\displaystyle p$ 의 개수를 구하시오.(2) (10점) [문제 2-2]의 (1)을 만족하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값에 대하여, $\displaystyle \ell=1$ 일 때 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 한 변의 길이가 $\displaystyle \ell$ 인 정사각형의 개수를 구하시오.(3) (12점) [문제 2-2]의 (1)을 만족하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값에 대하여, $\displaystyle \ell=\frac1n$ 일 때 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 한 변의 길이가 $\displaystyle \ell$ 인 정사각형의 개수를 $\displaystyle d_n$ 이라 하자. 극한 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}$ 을 조사하시오. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수)

해설강의 준비중

논술 도형의 근사와 극한

관련 개념강의 준비중

아주대 2027학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2027mo/jayeon_2

+6점 · 구간별

\displaystyle a_k

의 값을 올바르게 계산하면

[문제 2-1](1) [그림 2]에 의해 자연수 $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle 0\le x\le20$ 인 정수 $\displaystyle x$ 에 대해 점 $\displaystyle (x,k)$ 는 $\displaystyle g(x)>k$ 이면 $\displaystyle b_k$ 에 포함되고 $\displaystyle g(x)\le k$ 이면 $\displaystyle c_k$ 에 포함되므로 $\displaystyle k=g(x)$ 일 때 $\displaystyle a_k$ 의 값의 변화가 생긴다는 것을 알 수 있다. 각 $\displaystyle x$ 값에 대한 $\displaystyle g(x)$ 의 값을 계산하면

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$g(x)$	75	56	39	24	11	0	9	16	21	24	25	24	21	16	9	0	11	24	39	56	75

이다. 함수값을 작은 값부터 나열하면 $\displaystyle 0$ , $\displaystyle 9$ , $\displaystyle 11$ , $\displaystyle 16$ , $\displaystyle 21$ , $\displaystyle 24$ , $\displaystyle 25$ , $\displaystyle 39$ , $\displaystyle 56$ , $\displaystyle 75$ 이다. 문제에서 $\displaystyle 1\le k\le30$ 인 경우를 생각하므로 $\displaystyle a_k$ 의 값은 $\displaystyle 1\le k<9$ , $\displaystyle 9\le k<11$ , $\displaystyle 11\le k<16$ , $\displaystyle 16\le k<21$ , $\displaystyle 21\le k<24$ , $\displaystyle 24\le k<25$ , $\displaystyle 25\le k\le30$ 인 각 구간에서 같은 값을 가진다.

각 구간에서의 $\displaystyle a_k$ , $\displaystyle b_k$ , $\displaystyle c_k$ 의 값을 계산하면 다음과 같다.

$k$	$1\le k<9$	$9\le k<11$	$11\le k<16$	$16\le k<21$	$21\le k<24$	$24\le k<25$	$25\le k\le30$
$a_k$	17	13	9	5	1	−7	−9
$b_k$	19	17	15	13	11	7	6
$c_k$	2	4	6	8	10	14	15

+4점 ·

\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k

을 올바르게 계산하면

따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k=8\times17+2\times13+5\times9+5\times5+3\times1+1\times(-7)+6\times(-9)=174$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k

가 최소가 되는 상황을 관찰하면

(2) $\displaystyle 1\le k\le30$ 인 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle b_k=0$ 이면 $\displaystyle c_k=21$ 이고 $\displaystyle a_k=-21$ 이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$ 는 최소가 된다.

+5점 ·

\displaystyle p

의 최솟값을 올바르게 계산하면

이를 만족하려면 $\displaystyle p>20$ 이고 $\displaystyle g(20)\ge30$ 이어야 한다. 즉, $\displaystyle g(20)=(20-p)^2-25\ge30\quad\Rightarrow\quad(20-p)^2\ge55\quad\Rightarrow\quad p\ge20+\sqrt{55}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$ 가 최소가 되도록 하는 $\displaystyle p$ 의 최솟값은 $\displaystyle 28$ 이다.Comment. 수정 전 발문에서 요구한 합의 최솟값은 $\displaystyle 174$ 이며, 이를 만족하는 정수는 $\displaystyle 7\le p\le13$ 이므로 이 경우 $\displaystyle p$ 의 최솟값은 $\displaystyle 7$ 이다. 수정된 발문은 합이 최대가 되도록 하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값을 묻는다.

+4점 ·

\displaystyle a_{30}<0

를 만족하는 상황을 관찰하면

[문제 2-2](1) $\displaystyle g(x)=30$ 을 만족하는 $\displaystyle x$ 의 값은 $\displaystyle p\pm\sqrt{55}$ 이고 열린구간 $\displaystyle (p-5,p+5)$ 에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 의 최댓값은 $\displaystyle 25$ 이므로, $\displaystyle g(x)\le30$ 을 만족하는 구간은 $\displaystyle p-\sqrt{55}\le x\le p+\sqrt{55}$ 이다. $\displaystyle a_{30}<0$ 이 되려면 직선 $\displaystyle y=30$ 위에서 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle p-\sqrt{55}\le x\le p+\sqrt{55}$ 구간에 포함되는 점의 개수( $\displaystyle c_{30}$ )가 $\displaystyle 11$ 이상이어야 한다. 이 구간의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt{55}\ (>14)$ 이므로, $\displaystyle c_{30}\ge11$ 인 필요충분조건은 $\displaystyle x=10$ 이 이 구간에 포함되는 것이다.

+4점 · 정수

\displaystyle p

의 개수를 올바르게 계산하면

따라서 $\displaystyle p-\sqrt{55}\le10\text{ 그리고 }10\le p+\sqrt{55}\quad\Rightarrow\quad10-\sqrt{55}\le p\le10+\sqrt{55}$ 이다. 이 조건을 만족하는 정수 $\displaystyle p$ 는 $\displaystyle 3\le p\le17$ 이므로, 정수 $\displaystyle p$ 의 개수는 $\displaystyle 15$ 이다.

+3점 · 함수

\displaystyle h(x)

를 올바르게 구하면

(2) [문제 2-2]의 (1)을 만족하는 정수 $\displaystyle p$ 의 최솟값은 $\displaystyle 3$ 이므로 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}-(x-3)^2+25&(-2<x<8)\\(x-3)^2-25&(x\le-2\text{ 또는 }x\ge8)\end{cases}$ 이다. $\displaystyle g(x)=39$ 를 만족하는 $\displaystyle x$ 의 값은 $\displaystyle -5$ 와 $\displaystyle 11$ 이므로 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle h(x)=\begin{cases}-13x-26&(x<-2)\\5x+10&(-2\le x<3)\\-5x+40&(3\le x<8)\\13x-104&(x\ge8)\end{cases}$

+4점 · 증가하는 구간과 감소하는 구간에 대해 ‘

\displaystyle S

의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 관찰하면

‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’는 제1사분면에 있는 경우를 고려하므로 $\displaystyle 0\le x\le11$ 인 경우를 생각하자. $\displaystyle \ell=1$ 이므로 각 닫힌구간 $\displaystyle [i,i+1]\ (i=0,1,\cdots,10)$ 에서 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 세면 된다. $\displaystyle 0\le x\le11$ 에서 $\displaystyle h(x)\le39$ 이므로 닫힌구간 $\displaystyle [i,i+1]$ 에서 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수는 $\displaystyle 39$ 에서 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수를 빼는 것과 같다. ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수는 $\displaystyle h(i)$ 와 $\displaystyle h(i+1)$ 중 더 작은 값과 같다. 즉, ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수는 함수 $\displaystyle y=g(x)$ 가 감소하는 구간에서는 구간의 오른쪽 끝에서의 함수값, 증가하는 구간에서는 왼쪽 끝에서의 함수값과 같다.Correction. 이 문장의 $\displaystyle y=g(x)$ 는 $\displaystyle y=h(x)$ 의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · ‘

\displaystyle S

의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 올바르게 계산하면

그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}\text{개수}={}&(39-h(0))+(39-h(1))+(39-h(2))+(39-h(4))+(39-h(5))+(39-h(6))+(39-h(7))\\&+(39-h(8))+(39-h(8))+(39-h(9))+(39-h(10))=295\end{aligned}$ 이다.

+4점 · 증가하는 구간과 감소하는 구간에 대해 ‘

\displaystyle S

의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 관찰하면

(3) 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{i-1}{n},\frac in\right]$ 에서 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수는 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 가 증가할 때 $\displaystyle \left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\times n$ 개이고, 감소할 때 $\displaystyle \left(39-h\left(\frac in\right)\right)\times n$ 개다.

+4점 · 각 구간에서

\displaystyle \frac{d_n}{n^2}

을 올바르게 계산하면

닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 함수 $\displaystyle y=h(x)$ 는 증가하므로, 이 구간에서 ‘ $\displaystyle S$ 의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 $\displaystyle d_n$ 이라 하면Comment. 이 줄의 $\displaystyle d_n$ 은 구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 센 개수이다. 문제의 $\displaystyle d_n$ 을 구하려면 $\displaystyle [0,11]$ 의 모든 구간에서 센 개수를 더해야 한다. $\displaystyle \frac{d_n}{n^2}=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\times n=\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\frac1n$ 이다.

+4점 · 정적분과 급수와의 관계를 이용하여 극한을 올바르게 조사하면

따라서 정적분과 급수와의 관계를 이용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\frac1n=\int_0^1(39-h(x))\,dx$ 이다. 같은 방식으로 닫힌구간 $\displaystyle [1,2]$ , $\displaystyle [2,3]$ , $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle [10,11]$ 에서 정적분과 급수와의 관계를 이용하면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}=\int_0^{11}(39-h(x))\,dx=\frac{511}{2}$ 이다.

QtA. 왜 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}=\frac{511}{2}$ 일까? $\displaystyle \frac{d_n}{n^2}$ 은 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac1n$ 인 정사각형 $\displaystyle d_n$ 개의 넓이, 즉 덮개의 넓이이다. 격자를 촘촘하게 만들면 경계 밖으로 더 덮은 넓이가 $\displaystyle 0$ 으로 가므로, 이 극한은 제1사분면에서 $\displaystyle y=h(x)$ 와 $\displaystyle y=39$ 사이의 넓이이다.이를 $\displaystyle x=3,\ 8$ 에서 나누면 사다리꼴 두 개와 삼각형 하나가 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{29+14}{2}\times3+\frac{14+39}{2}\times5+\frac{39\times3}{2}=\frac{511}{2}.$ 정사각형을 세어 얻은 극한값이 이 도형의 넓이와 같아지는 것이다.

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