자연계열 2번

[문제 2-1](1) [그림 2]에 의해 자연수 $\displaystyle k$와 $\displaystyle 0\le x\le20$인 정수 $\displaystyle x$에 대해 점 $\displaystyle (x,k)$는 $\displaystyle g(x)>k$이면 $\displaystyle b_k$에 포함되고 $\displaystyle g(x)\le k$이면 $\displaystyle c_k$에 포함되므로 $\displaystyle k=g(x)$일 때 $\displaystyle a_k$의 값의 변화가 생긴다는 것을 알 수 있다. 각 $\displaystyle x$값에 대한 $\displaystyle g(x)$의 값을 계산하면

따라서$\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k=8\times17+2\times13+5\times9+5\times5+3\times1+1\times(-7)+6\times(-9)=174$이다.

(2) $\displaystyle 1\le k\le30$인 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle b_k=0$이면 $\displaystyle c_k=21$이고 $\displaystyle a_k=-21$이므로, $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$는 최소가 된다.

이를 만족하려면 $\displaystyle p>20$이고 $\displaystyle g(20)\ge30$이어야 한다. 즉,$\displaystyle g(20)=(20-p)^2-25\ge30\quad\Rightarrow\quad(20-p)^2\ge55\quad\Rightarrow\quad p\ge20+\sqrt{55}$이다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{30}a_k$가 최소가 되도록 하는 $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle 28$이다.Comment. 대학 예시답안의 $\displaystyle p=28$에서는 이 합이 최댓값 $\displaystyle 630$을 가진다. 문제에서 요구한 최솟값은 $\displaystyle 174$이며, 이를 만족하는 정수는 $\displaystyle 7\le p\le13$이므로 구하는 $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle 7$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle g(x)=30$을 만족하는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle p\pm\sqrt{55}$이고 열린구간 $\displaystyle (p-5,p+5)$에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 최댓값은 $\displaystyle 25$이므로, $\displaystyle g(x)\le30$을 만족하는 구간은 $\displaystyle p-\sqrt{55}\le x\le p+\sqrt{55}$이다. $\displaystyle a_{30}<0$이 되려면 직선 $\displaystyle y=30$ 위에서 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle p-\sqrt{55}\le x\le p+\sqrt{55}$ 구간에 포함되는 점의 개수($\displaystyle c_{30}$)가 $\displaystyle 11$ 이상이어야 한다. 이 구간의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt{55}\ (>14)$이므로, $\displaystyle c_{30}\ge11$인 필요충분조건은 $\displaystyle x=10$이 이 구간에 포함되는 것이다.

따라서$\displaystyle p-\sqrt{55}\le10\text{ 그리고 }10\le p+\sqrt{55}\quad\Rightarrow\quad10-\sqrt{55}\le p\le10+\sqrt{55}$이다. 이 조건을 만족하는 정수 $\displaystyle p$는 $\displaystyle 3\le p\le17$이므로, 정수 $\displaystyle p$의 개수는 $\displaystyle 15$이다.

(2) [문제 2-2]의 (1)을 만족하는 정수 $\displaystyle p$의 최솟값은 $\displaystyle 3$이므로$\displaystyle g(x)=\begin{cases}-(x-3)^2+25&(-2<x<8)\\(x-3)^2-25&(x\le-2\text{ 또는 }x\ge8)\end{cases}$이다. $\displaystyle g(x)=39$를 만족하는 $\displaystyle x$의 값은 $\displaystyle -5$와 $\displaystyle 11$이므로 함수 $\displaystyle y=h(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle h(x)=\begin{cases}-13x-26&(x<-2)\\5x+10&(-2\le x<3)\\-5x+40&(3\le x<8)\\13x-104&(x\ge8)\end{cases}$

‘$\displaystyle S$의 덮개’는 제1사분면에 있는 경우를 고려하므로 $\displaystyle 0\le x\le11$인 경우를 생각하자. $\displaystyle \ell=1$이므로 각 닫힌구간 $\displaystyle [i,i+1]\ (i=0,1,\cdots,10)$에서 ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 세면 된다. $\displaystyle 0\le x\le11$에서 $\displaystyle h(x)\le39$이므로 닫힌구간 $\displaystyle [i,i+1]$에서 ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수는 $\displaystyle 39$에서 ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수를 빼는 것과 같다. ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수는 $\displaystyle h(i)$와 $\displaystyle h(i+1)$ 중 더 작은 값과 같다. 즉, ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되지 않는 정사각형의 개수는 함수 $\displaystyle y=g(x)$가 감소하는 구간에서는 구간의 오른쪽 끝에서의 함수값, 증가하는 구간에서는 왼쪽 끝에서의 함수값과 같다.Correction. 이 문장의 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle y=h(x)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\text{개수}={}&(39-h(0))+(39-h(1))+(39-h(2))+(39-h(4))+(39-h(5))+(39-h(6))+(39-h(7))\\&+(39-h(8))+(39-h(8))+(39-h(9))+(39-h(10))=295\end{aligned}$이다.

(3) 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac{i-1}{n},\frac in\right]$에서 ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수는 함수 $\displaystyle y=h(x)$가 증가할 때 $\displaystyle \left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\times n$개이고, 감소할 때 $\displaystyle \left(39-h\left(\frac in\right)\right)\times n$개다.

닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 함수 $\displaystyle y=h(x)$는 증가하므로, 이 구간에서 ‘$\displaystyle S$의 덮개’에 포함되는 정사각형의 개수를 $\displaystyle d_n$이라 하면Comment. 이 줄의 $\displaystyle d_n$은 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 센 개수이다. 문제의 $\displaystyle d_n$을 구하려면 $\displaystyle [0,11]$의 모든 구간에서 센 개수를 더해야 한다.$\displaystyle \frac{d_n}{n^2}=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\times n=\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\frac1n$이다.

따라서 정적분과 급수와의 관계를 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\left(39-h\left(\frac{i-1}{n}\right)\right)\frac1n=\int_0^1(39-h(x))\,dx$이다. 같은 방식으로 닫힌구간 $\displaystyle [1,2]$, $\displaystyle [2,3]$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle [10,11]$에서 정적분과 급수와의 관계를 이용하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{d_n}{n^2}=\int_0^{11}(39-h(x))\,dx=\frac{511}{2}$이다.