자연계열 1번

(1) 물체1에 작용하는 탄성력 $\displaystyle f_1$은 용수철①과 용수철②로부터 주어진다.(a) 용수철①에 의한 탄성력: $\displaystyle -kx$용수철의 길이가 $\displaystyle x$만큼 늘어났으므로, 길이가 줄어드는 방향, 즉 왼쪽 방향으로 힘이 작용한다($\displaystyle -kx$).(b) 용수철②에 의한 탄성력: $\displaystyle -k(x-y)$용수철의 왼쪽 끝이 오른쪽으로 $\displaystyle x$만큼 이동, 즉 길이가 $\displaystyle x$만큼 줄어들었으므로, 길이가 늘어나게 되는 왼쪽 방향으로 힘이 작용하고($\displaystyle -kx$),용수철의 오른쪽 끝이 오른쪽으로 $\displaystyle y$만큼 이동, 즉 길이가 $\displaystyle y$만큼 늘어났으므로, 물체1의 시점에서 볼 때 용수철의 길이가 줄어들게 되는 방향, 즉 오른쪽 방향으로 힘이 작용한다($\displaystyle +ky$).(a), (b)를 합해서 $\displaystyle f_1=-kx-k(x-y)=-2kx+ky$

(2) 물체2에 작용하는 탄성력 $\displaystyle f_2$는 용수철②와 용수철③으로부터 주어진다.(c) 용수철②에 의한 탄성력: $\displaystyle -k(y-x)$용수철의 오른쪽 끝이 오른쪽으로 $\displaystyle y$만큼 이동, 즉 길이가 $\displaystyle y$만큼 늘어났으므로, 길이가 줄어들게 되는 왼쪽 방향으로 힘이 작용하고($\displaystyle -ky$),용수철의 왼쪽 끝이 오른쪽으로 $\displaystyle x$만큼 이동, 즉 길이가 $\displaystyle x$만큼 줄어들었으므로, 물체2의 시점에서 볼 때 용수철의 길이가 늘어나게 되는 방향, 즉 오른쪽 방향으로 힘이 작용한다($\displaystyle +kx$).(d) 용수철③에 의한 탄성력: $\displaystyle -ky$용수철의 길이가 $\displaystyle y$만큼 줄어들었으므로, 길이가 늘어나는 방향, 즉 왼쪽 방향으로 힘이 작용한다($\displaystyle -ky$).(c), (d)를 합해서 $\displaystyle f_2=-k(y-x)-ky=kx-2ky$

(3) 두 물체 모두 각진동수 $\displaystyle \omega$로 단진동한다고 했으므로 [제시문 3]에 의해$\displaystyle a_1=\frac{f_1}m=-\omega^2x,\;a_2=\frac{f_2}m=-\omega^2y$가 되고, 여기에 앞에서 구한 $\displaystyle f_1,f_2$를 대입하면$\displaystyle \begin{cases}a_1=-2\frac kmx+\frac kmy=-\omega_0^2(2x-y)=-\omega^2x\\a_2=\frac kmx-2\frac kmy=-\omega_0^2(-x+2y)=-\omega^2y\end{cases}\quad\text{즉}\quad\begin{cases}2x-y=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}x\\-x+2y=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}y\end{cases}$가 된다.이를 행렬을 이용하여 표현하면 $\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$

(1) 논제 1에서 구한 연립방정식 $\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$가 $\displaystyle x=y=0$, 즉 두 물체가 모두 정지해 있는 경우 이외의 해를 갖기 위해서는 [제시문 1]에 따라 $\displaystyle \left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)\left(2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)-1=0$이어야 한다. 이를 풀면 $\displaystyle 2-\frac{\omega^2}{\omega_0^2}=\pm1$이므로 $\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega_0^2}=1$ 혹은 $\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega_0^2}=3$, 즉 $\displaystyle \omega=\omega_0$ 혹은 $\displaystyle \omega=\sqrt3\omega_0$이어야 한다.

(2) $\displaystyle \omega=\omega_0$인 경우: 연립방정식이 $\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이 되어 $\displaystyle x=y$인 모든 $\displaystyle (x,y)$가 해가 되고, 이는 두 물체가 $\displaystyle \omega_0$의 각진동수로 같은 방향으로 같은 길이만큼씩 진동함을 의미한다.

(3) $\displaystyle \omega=\sqrt3\omega_0$인 경우: 연립방정식이 $\displaystyle \begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이 되어 $\displaystyle x=-y$인 모든 $\displaystyle (x,y)$가 해가 되고, 이는 두 물체가 $\displaystyle \sqrt3\omega_0$의 각진동수로 반대 방향으로 같은 길이만큼씩 진동함을 의미한다.