자연계열 2번

가톨릭대 2012학년도 수시1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/catholic/2012su/jayeon_2

2. [제시문 1] ~ [제시문 2]를 읽고 문제(논제 1, 논제 2)에 답하시오.(40점)

[제시문 1] 실수 $\displaystyle p$ 에 대하여 함수 $\displaystyle x^p$ 의 부정적분과 미분은 아래와 같다.

$\displaystyle \int x^pdx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\quad(\text{단, }p\ne-1),\qquad\frac{dx^p}{dx}=px^{p-1}$ Caution. 부정적분을 구할 때는 적분상수를 포함해야 한다: 제시문에 주어진 식은 부정적분의 일반 공식이므로 $\displaystyle \int x^p\,dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$ ( $\displaystyle p\ne-1$ )로 써야 한다. 오른쪽에 적분상수 $\displaystyle C$ 가 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[제시문 2] 인터넷의 발달과 함께 디지털로 표현될 수 있는 정보들은 물리적인 상품들과 다른 소비패턴을 보이고 있다. 디지털 정보를 유통하기 위해 필요한 물리적이거나 비용적인 제약이 물리적인 상품들에 비해 상당히 적기 때문에, 디지털 정보 유통업체들은 물리적인 상품의 유통업체들과 다르게 모든 디지털 정보를 직접 보유하고 있을 수 있다. 과거의 CD음반 매장은 물리적인 공간의 제약 때문에 지금까지 발매되었던 모든 음반을 가지고 있는 것이 아니라, 음반의 전시비용보다 수익이 더 많이 발생하는 인기 있는 음반만을 가지고 있어야 했다. 하지만 디지털 음원의 경우에는 이의 보관비용이 매우 작기 때문에 디지털 음원을 유통하는 업체들은 저작권 확보에 문제가 없는 경우에 모든 디지털 음원을 보유하고 판매에 나설 수 있다.

(문제) 한 음반매장은 20년 전에는 CD를 상점에서 판매하였으며, 10년 전부터는 인터넷에서 MP3 음악 다운로드 기능을 통해 음반을 판매하고 있다. 이 음반매장의 음반 판매순위와 판매량의 관계는 멱함수(Power law)를 따르며, 20년 전과 올해의 음반 판매순위와 판매량의 관계를 나타내는 함수는 다음 그림과 같다. (단, 아래 그림은 실제 함수의 모양대로 도식화되지 않았으며, 이해를 돕기 위한 목적으로 만들어졌음.)

(논제 1) (30점) 20년 전의 음반 판매순위와 음반 판매량 간의 관계는 함수 $\displaystyle y=\alpha x^{-1/2}$ , 올해의 음반 판매순위와 음반 판매량 간의 관계는 함수 $\displaystyle y=\frac\alpha2x^{-1/4}$ 을 따른다고 하자. 20년 전과 올해를 비교하였을 때, 판매순위 1위부터 두 함수가 만나는 점까지 줄어든 판매량과 두 함수가 만나는 점부터 판매순위 81위까지 늘어난 판매량을 비교하시오. (단, $\displaystyle x$ 는 연속한 값을 갖는다고 가정하자.)

(논제 2) (10점) 음반 판매순위 1위부터 81위까지의 음반 판매량의 평균변화율을 계산하였을 때, 20년 전의 평균변화율과 올해의 평균변화율의 차이가 5개/순위였다. 이때, $\displaystyle \alpha$ 의 값은 얼마인가? 또, 두 함수가 만나는 점의 음반 판매량은 몇 개인가?

해설강의 준비중

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+5점 · 두 함수가 만나는 점을 옳게 찾은 경우

[논제 1] (30점)(1) 두 함수가 만나는 점 $\displaystyle \alpha x^{-1/2}=\frac\alpha2x^{-1/4}\quad\to\quad2=x^{1/4}\quad\to\quad x=16$

+10점 · 줄어든 판매량을 옳게 구한 경우

(2) 줄어든 판매량 $\displaystyle \int_1^{16}\alpha x^{-1/2}dx-\int_1^{16}\frac\alpha2x^{-1/4}dx=\Biggl[2\alpha x^{1/2}\Biggr]_1^{16}-\Biggl[\frac\alpha2\frac43x^{3/4}\Biggr]_1^{16}=2\alpha(4-1)-\frac{2\alpha}3(8-1)=\frac43\alpha$

+10점 · 늘어난 판매량을 옳게 구한 경우

(3) 늘어난 판매량 $\displaystyle \int_{16}^{81}\frac\alpha2x^{-1/4}dx-\int_{16}^{81}\alpha x^{-1/2}dx=\Biggl[\frac\alpha2\frac43x^{3/4}\Biggr]_{16}^{81}-\Biggl[2\alpha x^{1/2}\Biggr]_{16}^{81}=\frac{2\alpha}3(27-8)-2\alpha(9-4)=\frac83\alpha$

+5점 · 줄어든 판매량과 늘어난 판매량에 대한 비교 설명이 옳은 경우

(4) 낮은 순위에서 늘어난 판매량이 높은 순위에서 줄어든 판매량보다 $\displaystyle \frac{4\alpha}3$ 만큼 많다.

+5점 · 올해와 20년 전의 음반 판매량의 평균변화율과 이들의 차이를 옳게 표현한 경우

[논제 2] (10점)20년 전의 평균변화율: $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\alpha(81)^{-1/2}-\alpha(1)^{-1/2}}{81-1}=\frac{\frac\alpha9-\alpha}{80}=-\frac\alpha{90}$ 올해의 평균변화율: $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac\alpha2(81)^{-1/4}-\frac\alpha2(1)^{-1/4}}{81-1}=\frac{\frac\alpha6-\frac\alpha2}{80}=-\frac\alpha{240}$ 두 평균변화율의 차이: $\displaystyle \left|-\frac\alpha{90}-\left(-\frac\alpha{240}\right)\right|=\left|\frac{-8\alpha+3\alpha}{720}\right|=\frac{5\alpha}{720}$

+2점 ·

\displaystyle \alpha

의 값을 옳게 구한 경우

문제에서 두 평균변화율의 차이가 5개/순위라고 했으므로 $\displaystyle \frac{5\alpha}{720}=5$ , 즉 $\displaystyle \alpha=720$ 이다.

+3점 · 두 함수가 만나는 점의 음반 판매량을 옳게 구한 경우

따라서, 두 함수가 만나는 점인 $\displaystyle x=16$ 에서의 음반 판매량은 $\displaystyle \left[\alpha x^{-\frac12}\right]_{x=16}=720\times(16)^{-\frac12}=720\times\frac14=180$ 개.

가. 기본사항

① 각 논제를 가중치를 가지고 채점하되 총점으로 환산하여 총괄평가한다. 각 논제에 배당된 점수 범위 내에서 등급이 아닌 점수로 표기하여 합산한다.

② 채점위원 2인이 1조가 되어 동일한 문항에 대해 각각 채점하고, 채점의 결과가 10점 이상의 차이가 날 경우에는 채점위원 합의로 2차 채점을 진행한다. 2차 채점에서 위원 사이에 조정이 이루어지지 않을 경우에는 3차 채점을 실시한다. 3차 채점은 출제위원을 포함한 새로운 채점위원 2인이 실시하되, 1차 채점의 상위와 하위 점수 사이의 점수를 부여한다.

나. 세부사항

① 문제의 의도를 완전히 잘못 이해했거나 각 논제와 전혀 다른 내용을 서술한 경우에는 0점으로 채점한다.

[논제 1: 30점] 두 함수가 만나는 점을 옳게 찾은 경우 5점, 줄어든 판매량을 옳게 구한 경우 10점, 늘어난 판매량을 옳게 구한 경우 10점, 줄어든 판매량과 늘어난 판매량에 대한 비교 설명이 옳은 경우 5점을 부여하되, 식의 수립이나 계산과정에 실수가 있을 때에는 주어진 점수 범위 내에서 감점하도록 한다.

[논제 2: 10점] 올해와 20년 전의 음반 판매량의 평균변화율과 이들의 차이를 옳게 표현한 경우 5점, $\displaystyle \alpha$ 의 값을 옳게 구한 경우 2점, 두 함수가 만나는 점의 음반 판매량을 옳게 구한 경우 3점을 부여하되, 식의 수립이나 계산과정에 실수가 있을 때에는 주어진 점수 범위 내에서 감점하도록 한다.

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