자연계열 2번

[논제 1] (30점)(1) 두 함수가 만나는 점$\displaystyle \alpha x^{-1/2}=\frac\alpha2x^{-1/4}\quad\to\quad2=x^{1/4}\quad\to\quad x=16$(2) 줄어든 판매량$\displaystyle \int_1^{16}\alpha x^{-1/2}dx-\int_1^{16}\frac\alpha2x^{-1/4}dx=\Biggl[2\alpha x^{1/2}\Biggr]_1^{16}-\Biggl[\frac\alpha2\frac43x^{3/4}\Biggr]_1^{16}=2\alpha(4-1)-\frac{2\alpha}3(8-1)=\frac43\alpha$(3) 늘어난 판매량$\displaystyle \int_{16}^{81}\frac\alpha2x^{-1/4}dx-\int_{16}^{81}\alpha x^{-1/2}dx=\Biggl[\frac\alpha2\frac43x^{3/4}\Biggr]_{16}^{81}-\Biggl[2\alpha x^{1/2}\Biggr]_{16}^{81}=\frac{2\alpha}3(27-8)-2\alpha(9-4)=\frac83\alpha$(4) 낮은 순위에서 늘어난 판매량이 높은 순위에서 줄어든 판매량보다 $\displaystyle \frac{4\alpha}3$만큼 많다.

[논제 2] (10점)20년 전의 평균변화율: $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\alpha(81)^{-1/2}-\alpha(1)^{-1/2}}{81-1}=\frac{\frac\alpha9-\alpha}{80}=-\frac\alpha{90}$올해의 평균변화율: $\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac\alpha2(81)^{-1/4}-\frac\alpha2(1)^{-1/4}}{81-1}=\frac{\frac\alpha6-\frac\alpha2}{80}=-\frac\alpha{240}$두 평균변화율의 차이: $\displaystyle \left|-\frac\alpha{90}-\left(-\frac\alpha{240}\right)\right|=\left|\frac{-8\alpha+3\alpha}{720}\right|=\frac{5\alpha}{720}$문제에서 두 평균변화율의 차이가 5개/순위라고 했으므로 $\displaystyle \frac{5\alpha}{720}=5$, 즉 $\displaystyle \alpha=720$이다.따라서, 두 함수가 만나는 점인 $\displaystyle x=16$에서의 음반 판매량은$\displaystyle \left[\alpha x^{-\frac12}\right]_{x=16}=720\times(16)^{-\frac12}=720\times\frac14=180$개.