자연계열 2번

제시문 (ㄱ)에 의하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^n kx^{k-1}=\left\{\sum_{k=1}^n x^k\right\}^{\prime}=\left\{\frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right\}^{\prime}$이다.

$\displaystyle y=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$이라하고 제시문 (ㄴ)을 이용하여 미분을 계산하면$\displaystyle y^{\prime}=\frac{\{(n+1)x^n-1\}(x-1)-(x^{n+1}-x)}{(x-1)^2}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$이므로제시문 (ㄷ)이 옳음을 알 수 있다.

다항식 $\displaystyle f(x)=6x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$를 $\displaystyle x+2$로 나누었을 때 몫을 $\displaystyle Q(x)$, 나머지를 $\displaystyle R$이라고 하자. 즉, $\displaystyle f(x)=(x+2)Q(x)+R$이다. 제시문 (ㄷ)과 제시문 (ㄹ)을 이용하면$\displaystyle R=f(-2)=\frac{6\times(-2)^7-7\times(-2)^6+1}{9}=-\frac{1215}9=-135$임을 얻는다.

제시문 (ㄹ)에 의하여 $\displaystyle Q(x)$는 모든 계수가 정수인 $\displaystyle 4$차 다항식이므로 $\displaystyle Q(m)$은 정수이다. 따라서, $\displaystyle f(m)$이 $\displaystyle m+2$의 배수가 되기 위해서는 $\displaystyle m+2$는 $\displaystyle 135$의 약수가 되어야 한다.

$\displaystyle m+2$는 $\displaystyle 2$보다 크므로 $\displaystyle 1$을 제외한 $\displaystyle 135$의 약수가 $\displaystyle m+2$로 가능한 값들이다.$\displaystyle 135=45\times3$이므로 $\displaystyle 45$는 $\displaystyle 135$의 약수이다.($\displaystyle 135$가 $\displaystyle 45$의 배수임을 확인하면 된다.)

따라서 $\displaystyle 43$은 집합 $\displaystyle A$의 원소이다.