자연계열 3번

$\displaystyle p(x)=f(x)-l(x)$라고 두자.$\displaystyle l(x)=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$이므로 $\displaystyle p(x)=f(x)-f^{\prime}(a)(x-a)-f(a)$이다.

따라서 $\displaystyle p(a)=0$이고, $\displaystyle p^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)$이므로 $\displaystyle p^{\prime}(a)=0$이다.

$\displaystyle p(x)$를 $\displaystyle (x-a)^2$으로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle q(x)$, 나머지를 $\displaystyle k_1(x-a)+k_2$라고 하면$\displaystyle p(x)=(x-a)^2q(x)+k_1(x-a)+k_2$이므로

$\displaystyle p(a)=k_2$이고 $\displaystyle p^{\prime}(a)=k_1$이다. 따라서 $\displaystyle k_1=k_2=0$이고, $\displaystyle p(x)=(x-a)^2q(x)$이다.즉, $\displaystyle f(x)-l(x)$는 $\displaystyle (x-a)^2$으로 나누어떨어진다.따라서 제시문 (ㄱ)의 명제가 참이다.

직선 $\displaystyle y=g(x)$와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 교점을 $\displaystyle (b,h(b))$라 하자.직선 $\displaystyle y=g(x)$는 곡선 $\displaystyle y=h(x)$ 위의 점 $\displaystyle (b,h(b))$에서의 접선이므로제시문 (ㄱ)에 의해 $\displaystyle h(x)-g(x)=2(x-b)^2(x-c)$로 쓸 수 있다.그런데 직선 $\displaystyle y=g(x)$와 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 교점의 개수가 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle b=c$,즉, $\displaystyle h(x)-g(x)=2(x-b)^3$이다.

따라서 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=12(x-b)$이고 곡선 $\displaystyle y=h(x)$의 변곡점은 $\displaystyle (b,h(b))$이다.따라서 $\displaystyle a=b$이고 도형 $\displaystyle S$의 넓이는$\displaystyle \int_a^{a+2}|h(x)-g(x)|dx=\int_a^{a+2}2(x-a)^3dx=8$이다.