인문계열 Ⅲ번

주어진 문제를 수리적인 모형으로 표현하는데 편리하도록 다음과 같이 변수를 정의하자.

$\displaystyle M\equiv$ 원금 $\displaystyle r\equiv$ 연이율 $\displaystyle t\equiv$ 해약시점

$\displaystyle R(A)\equiv$ 상품 A의 해약반환금 $\displaystyle R(B)\equiv$ 상품 B의 해약반환금

[문제 1]

위에서 정의한 변수를 이용하여 두 상품 A, B를 각각 선택하였을 때의 해약반환금은 다음과 같다.

$\displaystyle R(A)=M\left(1+\frac{t}{365}r\right)-a\cdot M\cdot\left(\frac{365-t}{365}\right)$

$\displaystyle R(B)=M\left(1+\frac{t}{365}r\right)-b\cdot M$

여기서 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 문제에서 주어진 상수와 같으며, 해약시점 $\displaystyle t$는 $\displaystyle 0<t<365$인 연속적인 값이다. 만일 만기까지 해약을 하지 않는다면, 두 상품 중 어떤 것을 선택했을지라도 만기에 지급받는 금액은 같아지게 된다. 또한 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 값은 만기 이전에 아무 때나 해약하더라도 해약부담금이 원금을 초과하지 않도록 합리적인 값을 가져야 함은 너무나 자명하다.

이 은행의 1년 만기 정기예금의 두 가지 상품 A와 B에 가입하는 고객이 있기 위해서는 다음 그래프에서 볼 수 있는 것처럼 $\displaystyle R(A)$와 $\displaystyle R(B)$의 직선이 만나는 점이 0과 365 사이에 존재하여야 하는 것이 합리적이고 논리적인 상황설정이라 할 수 있다. 즉, $\displaystyle R(A)$와 $\displaystyle R(B)$의 직선이 만나는 점이 없다면 해약시점에 관계없이 두 개의 그래프 중 위쪽에 존재하는 상품이 더 많은 금액을 돌려주므로 고객은 당연히 모두 두 개의 그래프 중 위쪽에 존재하는 상품을 선택할 것이다.

$\displaystyle R(A)=R(B)$라 놓고 이를 $\displaystyle t$에 관해서 풀면 $\displaystyle t=365\left(1-\frac{b}{a}\right)$가 되므로 이 해가 0과 365 사이에 존재하기 위한 조건은 $\displaystyle a>b$가 된다. 두 상품에 대하여 $\displaystyle R(A)$와 $\displaystyle R(B)$를 동일한 좌표상에 그래프로 그리면 다음과 같다.

[문제 2]

실제로 은행에서 1년 만기 정기예금을 두 가지 상품으로 만들어 마케팅을 한다고 가정하면, 위 그래프처럼 $\displaystyle R(A)$와 $\displaystyle R(B)$가 교차하는 지점이 0 과 365 사이에 존재하도록 문제에서 주어진 해약부담금 규정 내의 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 미리 결정되어 있다고 할 수 있다. 따라서 K씨는 [문제 1]에서 구한 $\displaystyle t=365\left(1-\frac{b}{a}\right)$를 이용하여, 만일 자신이 해약가능성이 있다고 예상하는 해약시점이 이 값보다 작다면 이러한 경우에 해약시 돌려 받는 금액이 더 큰 상품 B를 선택하는 것이 유리하며, 자신이 해약가능성이 있다고 예상하는 해약시점이 이 값보다 크다면 그러한 경우에 해약시 돌려 받는 금액이 더 큰 상품 A를 선택하는 것이 유리할 것이다.

물론 리스크(risk)에 대한 개인의 성향에 따라서 위험을 감수하고라도 주관적으로 판단하여 이익이 더 크다고 여겨지는 상품을 선택할 수도 있으나 이러한 결정은 객관적이거나 논리적이라고 하기에는 많은 무리가 있다고 할 수 있다. 또한, 두 그래프가 거의 차이가 없이 비슷하다면 어떤 상품을 택해도 특별히 유리하거나 불리하다고 할 수는 없지만, 이러한 경우가 발생한다고 가정하는 것은 현실적으로 합리적이지 않다고 볼 수 있으므로 배제하여도 될 것이다.