자연계열 1번

지구의 공전 주기를 $\displaystyle T_E$, 금성의 공전 주기를 $\displaystyle T_V$라 하자. 1882년 12월과 2004년 6월 사이에 대략 $\displaystyle 121.5T_E$의 시간이 지났다고 볼 수 있다. $\displaystyle a_V$가 $\displaystyle a_E$보다 작으므로 케플러 제3법칙에 따르면 금성의 공전 주기가 더 짧아서 같은 시간에 금성의 공전 회전수가 더 많다. $\displaystyle T_E$ 시간 동안 지구는 한 바퀴 돌고 금성은 $\displaystyle T_E/T_V$ 바퀴 움직인다. 따라서 $\displaystyle 121.5T_E$의 시간 동안 금성은 지구보다 $\displaystyle 121.5\times(T_E/T_V-1)$바퀴 더 돌게 된다.

한편 케플러 제3법칙에 따라 $\displaystyle \left(\frac{a_V}{a_E}\right)^3=\left(\frac{T_V}{T_E}\right)^2$이 성립한다.

따라서 금성이 지구보다 더 움직인 공전 회전수를 금성의 공전 긴 반지름과 지구의 공전 긴 반지름으로 표현하면 $\displaystyle 121.5\times\left(\left(\frac{a_V}{a_E}\right)^{-\frac32}-1\right)$바퀴가 된다.

문제에 주어진 가정을 따르면 1882년 12월과 2004년 6월 사이 금성의 태양면 통과 횟수는 금성이 지구보다 더 움직인 공전 회전수에서 1을 뺀 $\displaystyle 121.5\times\left(\left(\frac{a_V}{a_E}\right)^{-\frac32}-1\right)-1$회가 된다.

$\displaystyle \left(\frac{a_V}{a_E}\right)=0.72$이므로 $\displaystyle 0.72^{-\frac32}$의 값을 구하기 위해 $\displaystyle \log_{10}0.72^{-\frac32}$의 값을 찾아내면 문제에서 제시한 그래프를 이용하여 주어진 $\displaystyle \log_{10}x$ 그래프의 알려진 함수값에서 x를 찾는 방식으로 $\displaystyle 0.72^{-\frac32}$의 값을 정할 수 있다.

그런데, $\displaystyle \log_{10}0.72^{-\frac32}=-1.5\log_{10}0.72$이므로 이 또한 문제에서 제시한 그래프에서 $\displaystyle \log_{10}0.72$의 값을 읽으면 간단한 곱셈을 통해 그 값을 구할 수 있다. 그래프를 보면 $\displaystyle \log_{10}0.72\approx-0.14$로 그래프의 x 축에서 작은 눈금 7칸 밑에 있는 점에 해당함을 알 수 있다. 그러므로 $\displaystyle \log_{10}0.72^{-\frac32}\approx0.21$이고

$\displaystyle \log_{10}0.72^{-\frac32}$은 그래프의 x 축에서 작은 눈금 10.5칸 위에 있는 점을 찾으면 $\displaystyle x\approx1.62$에서 $\displaystyle \log_{10}x\approx0.21$이 됨을 근사적으로 구할 수 있다. 이 값을 넣어서 계산해 보면