수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

중앙대 2009학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2009mo/jayeon_1

배점35점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

(가) 신호의 형식에는 아날로그와 디지털이 있는데, 아날로그 신호란 신호의 크기가 연속적인 값으로 나타나는 것이고, 디지털 신호란 신호의 크기가 불연속적인 값으로 나타나는 것이다. 신호 전송의 방식에도 아날로그와 디지털이 있는데, 아날로그 방식은 시간에 따라 연속적으로 신호를 전송하는 방식이고, 디지털 방식은 시간에 따라 불연속적으로 신호를 전송하는 방식이다. 두 전송 방식의 특징적인 차이는 신호 왜곡 현상이나 잡음의 영향력 차이이다. 아날로그 방식으로 통신을 하는 경우 통신로 자체의 특성에 따라 신호의 일그러짐이 생기거나 잡음에 의해 파형이 흐트러지게 되면 본래 신호를 복원하기가 매우 어렵다. 디지털 통신의 경우에도, 정보를 전송할 때 신호 세기 저하, 잡음 등의 이유로 오류가 발생할 수 있다. 그러나, 디지털 통신에서 정보의 기본 단위는 0 또는 1의 값을 갖는 비트이므로, 전송중의 잡음 등으로 인한 신호 왜곡 현상이 발생하더라도 신호 유/무 여부의 판단만 가능하면 원래의 정보를 복원할 수 있다.

(나) 디지털 통신에서 정보 전송의 오류 여부를 알아내는 일은 매우 중요하며, 이를 위해 사용되는 방법 중 하나는 전송되는 데이터 비트의 일정한 주기마다 오류 검사를 위한 비트 하나를 추가하는 것이다. 이때 추가되는 비트를 패리티(parity) 비트라고 한다.

예를 들어, 옆의 그림과 같이 2개의 데이터 비트마다 1개의 패리티 비트를 추가하여 비트 3개를 한 묶음으로 전송하는 경우를 생각해 보자. 전송되기 전 2개의 데이터 비트 중, 값이 1인 비트가 0개 또는 2개일 때 패리티 비트의 값을 0으로, 그렇지 않으면 패리티 비트의 값을 1로 설정한다.

데이터 비트와 패리티 비트

전송된 비트 3개 한 묶음에서 2개의 데이터 비트 중 값이 1인 비트의 수가 짝수인데 패리티 비트의 값이 1이거나, 2개의 데이터 비트 중 값이 1인 비트의 수가 홀수인데 패리티 비트의 값이 0이면, 전송중 오류가 발생한 것으로 판정한다. 이와 같은 데이터 오류 검사를 패리티 검사라 한다.

(다) 먼 곳에 신호를 보내는 방법으로 전선이나 전파를 사용한다. 그런데, 전선은 저항 때문에 거리가 멀어지면 신호의 세기가 급격히 약해진다. 전파를 이용하는 경우에도 거리가 멀면 퍼지기 때문에 세기가 약해질 뿐만 아니라 장애물이 있으면 신호가 잘 전달되지 않는다. 광섬유를 통하여 신호를 보내면 이러한 단점이 많이 줄어들지만, 이 경우에도 전송 거리가 아주 멀어지면 신호 세기의 감소로 인한 문제가 발생한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 증폭기를 사용하며, 증폭기를 통하여 신호가 증폭되는 비율을 증폭기의 이득(gain)이라고 한다. 즉, 입력 신호의 세기를 X, 출력 신호의 세기를 Y, 이득을 G라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

Y=GX\displaystyle Y=GX

이 식에서 G는 상수가 아니라 입력 신호의 세기 X에 따라 변하는 값이다. 이러한 이득의 상대적인 차이로 인해 신호 증폭에 따른 신호 왜곡 현상이 발생한다. 일반적으로, 증폭기는 아래의 그림으로 나타낸다.

입력 X, 이득 G, 출력 Y

제시문 (나)에서 설명한 하나의 3비트 신호를 전송하기 위해 옆의 순서도와 같이 서로 다른 두 가지 방법을 사용하려고 한다. 하나의 비트가 전달되는 과정에서 제시문 (다)와 같은 이유로 오류가 발생할 확률은 p(0<p<1)\displaystyle p(0<p<1)이다.

패리티 검사 유무에 따른 두 전송 방법

[문제 1-1] <방법1>을 사용하여 신호가 수신되었다고 할 때, 데이터에 오류가 있을 확률을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [20점]

[문제 1-2] 두 방법에 따라 신호가 수신되었다고 하자. 각 데이터에 오류가 있을 확률을 비교한 후, p\displaystyle p 값에 따른 패리티 검사의 효과를 논리적으로 설명하시오. 단, <방법2>의 경우 패리티 비트는 무시한다. [15점]

해설강의 준비중

조건부확률과 곱셈정리

중앙대 2009학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2009mo/jayeon_1

[문제 1-1]

+8점 · 수신된 경우

데이터가 수신된 경우는 다음의 네 가지 경우이며 [세 번째가 패리티 비트 부분]

(1) O O O　 (2) O X X　 (3) X O X　 (4) X X O

+8점 · 각 경우의 확률

각각의 확률은 다음과 같다.

(1) (1−p)3(2) (1−p)p2(3) p(1−p)p=(1−p)p2(4) p2(1−p)\displaystyle \begin{aligned}(1)\ &(1-p)^3\\(2)\ &(1-p)p^2\\(3)\ &p(1-p)p=(1-p)p^2\\(4)\ &p^2(1-p)\end{aligned}

+4점 · 오류의 조건부확률

따라서, 데이터가 수신되었을 때 데이터에 오류가 있을 확률은, 위 네 가지 경우에서 (2), (3), (4) 세 가지 경우가 차지하는 비율이다. 즉, 구하고자 하는 확률은 다음과 같다.

(2)+(3)+(4)(1)+(2)+(3)+(4)=3p2(1−p)(1−p)(4p2−2p+1)=3p24p2−2p+1\displaystyle \begin{aligned}\frac{(2)+(3)+(4)}{(1)+(2)+(3)+(4)}&=\frac{3p^2(1-p)}{(1-p)(4p^2-2p+1)}\\&=\frac{3p^2}{4p^2-2p+1}\end{aligned}

[문제 1-2]

+5점 · 방법2의 오류 확률

패리티 비트를 고려하지 않는 <방법2>에 따라 수신된 데이터에 오류가 있을 확률은 1−(1−p)2\displaystyle 1-(1-p)^2이다.

+4점 · 확률의 차이

[문제 1-1]에서 <방법1>에 따라 구한 확률과 이 확률을 비교해 보면 다음과 같다.

3p24p2−2p+1−[1−(1−p)2]=2p(2p−1)(1−p)24p2−2p+1\displaystyle \frac{3p^2}{4p^2-2p+1}-[1-(1-p)^2]=\frac{2p(2p-1)(1-p)^2}{4p^2-2p+1}

+6점 · 패리티 검사의 효과

따라서, p\displaystyle p값에 따라 패리티 검사의 효과를 다음과 같이 설명할 수 있다.

1) p=1/2\displaystyle p=1/2일 때는 패리티 비트를 사용하는 안 하는 두 확률의 차이가 없고, p>1/2\displaystyle p>1/2일 때는 <방법1>에 따라 구한 확률이 <방법2>에 따라 구한 확률보다 크므로 패리티 검사를 하지 않는 것이 낫다. 즉, p≥1/2\displaystyle p\ge1/2일 때는 패리티 검사의 효과가 없다.

2) p<1/2\displaystyle p<1/2일 때는 <방법2>에 따라 구한 확률이 <방법1>에 따라 구한 확률보다 크므로 패리티 검사를 하는 것이 낫다.

문제 1-1: 수신된 경우를 일부만 정확히 제시하면 정확한 경우마다 2점, 확률을 일부만 정확히 제시하면 정확한 경우마다 2점.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.