자연계열 2번

중앙대 2009학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/cau/2009mo/jayeon_2

(다) 먼 곳에 신호를 보내는 방법으로 전선이나 전파를 사용한다. 그런데, 전선은 저항 때문에 거리가 멀어지면 신호의 세기가 급격히 약해진다. 전파를 이용하는 경우에도 거리가 멀면 퍼지기 때문에 세기가 약해질 뿐만 아니라 장애물이 있으면 신호가 잘 전달되지 않는다. 광섬유를 통하여 신호를 보내면 이러한 단점이 많이 줄어들지만, 이 경우에도 전송 거리가 아주 멀어지면 신호 세기의 감소로 인한 문제가 발생한다. 이러한 문제를 해결하기 위해 증폭기를 사용하며, 증폭기를 통하여 신호가 증폭되는 비율을 증폭기의 이득(gain)이라고 한다. 즉, 입력 신호의 세기를 X, 출력 신호의 세기를 Y, 이득을 G라고 할 때 다음의 식이 성립한다.

$\displaystyle Y=GX$

이 식에서 G는 상수가 아니라 입력 신호의 세기 X에 따라 변하는 값이다. 이러한 이득의 상대적인 차이로 인해 신호 증폭에 따른 신호 왜곡 현상이 발생한다. 일반적으로, 증폭기는 아래의 그림으로 나타낸다.

(라) 피드백(feedback)은 어떤 원인에 의해 나타난 결과가 다시 그 원인에 영향을 미치는 현상을 말한다. 피드백은 미국의 수학자 Norbert Wiener에 의해 도입되어 특히 제어와 관련된 분야에 널리 쓰이게 되었다. 출력 신호의 일부가 입력 신호에 더해져서 입력을 강화시킬 때 이것을 ‘양의 피드백’이라 하며, 출력 신호를 증가시키는 역할을 한다. 예를 들어, 마이크를 사용할 때 가끔 ‘삐이익-’하고 듣기 싫은 소리를 내는 경우가 있는데 이를 하울링(howling) 현상이라고 한다. 이것은 스피커에서 나온 소리가 다시 마이크로 들어가서 증폭기를 통해 더욱 크게 증폭되어 스피커로 출력되는 ‘양의 피드백’으로 인해 생기는 소리이다.

반대로, 출력 신호의 일부가 입력 신호의 역방향으로 작용하여 입력의 효과를 감소시키는 것을 ‘음의 피드백’이라 한다. 예를 들어, 실내 온도를 일정하게 유지하는 에어컨은 실내 온도가 설정값보다 높으면 낮추는 방향으로, 낮으면 높이는 방향으로 출력을 제어하므로 ‘음의 피드백’을 응용한 것이다.

[문제 2-1] 옆과 같이 출력의 일정 비율 $\displaystyle a(0<a<1)$ 를 사용하여 제시문 (라)의 ‘음의 피드백’으로 구동되는 증폭기를 가정하자. 피드백이 없는 상황에서 증폭기의 이득을 G라고 할 때, 피드백이 주어진 전체 시스템의 이득을 구하는 과정을 제시문 (다)를 참조하여 설명하시오. [15점]

[문제 2-2] 제시문 (다)에서 설명된 이득 G가 다음과 같은 입력 신호의 세기 X의 함수라고 하자.

$\displaystyle G(X)=\frac{X+CG_0}{X+C}$

[문제 2-1]에 주어진 ‘음의 피드백’ 시스템을 사용하면, 피드백이 없는 경우에 비해 제시문 (다)에서 설명된 신호 왜곡 현상이 줄어들게 됨을 $\displaystyle X\to+0$ 인 경우와 $\displaystyle X\to\infty$ 인 경우를 고려하여 설명하시오.

단, $\displaystyle G_0>1,\ C>0$ 이다. [20점]

해설강의 준비중

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[문제 2-1]

전체 시스템의 이득은 다음과 같은 논리적 전개 과정을 통해 구할 수 있다.

+5점 · 증폭기에 입력되는 신호

1) X가 입력되어 최종 출력이 Y일 경우 피드백에 의해 입력으로 되돌아가는 크기를 B라 고 하면

$\displaystyle B:Y=a:1-a$ 의 비례식이 만족되어 다음의 식이 성립한다.

$\displaystyle B=\frac{a}{1-a}Y$

2) 음의 피드백이므로 증폭기로 입력되는 신호의 세기는 $\displaystyle X-B=X-\frac{a}{1-a}Y$ 이다.

3) 따라서 증폭기에서 출력되는 신호의 세기는 $\displaystyle G\left(X-\frac{a}{1-a}Y\right)$ 이다.

+6점 · 최종 출력

4) 최종 출력은 증폭기 출력에 1-a를 곱한 값이므로 다음과 같은 식이 성립한다.

$\displaystyle \begin{aligned}Y&=G(1-a)\left(X-\frac{a}{1-a}Y\right)\\&=G(1-a)X-aGY\\\therefore Y&=\frac{(1-a)G}{1+aG}X\end{aligned}$

+4점 · 전체 시스템의 이득

5) 제시문(다)에 주어진 정의에 의해, 전체 시스템의 이득은 $\displaystyle \frac{(1-a)G}{1+aG}$ 이다.

[문제 2-2]

+5점 · 왜곡의 평가 지표

1) 제시문(다)에 의하면 신호 왜곡이란 입력 신호 X의 변화에 따른 이득의 상대적인 차이이므로, 왜곡의 정도를 평가하기 위해 X에 따른 이득의 최댓값과 최솟값 사이의 비율을 사용하면 된다.

+5점 · 이득의 최대·최소

2) 주어진 증폭기 이득은 $\displaystyle G(X)=\frac{X+CG_0}{X+C}=1+\frac{C(G_0-1)}{X+C}$ 로서 X의 단조 감소 함수이므로, G는 $\displaystyle X\to+0$ 에서 최대, $\displaystyle X\to\infty$ 에서 최소가 된다.

+3점 · 피드백이 없는 경우

3) 따라서 피드백이 없는 경우 왜곡의 정도는 $\displaystyle \frac{G(X\to+0)}{G(X\to\infty)}=\frac{G_0}1=G_0$ 이다.

4) 전체 시스템의 이득을 H라 하면, 피드백이 있는 경우 [문제2-1]에서 얻어진 결과에 의해

$\displaystyle H=\frac{(1-a)G}{1+aG}=\frac{1-a}{\frac1G+a}$

이므로 G의 단조 증가 함수이다. 그러므로 H는 G가 최대일 때 (즉, $\displaystyle X\to+0$ 일 때) 최대, G가 최소일 때(즉, $\displaystyle X\to\infty$ 일 때) 최소가 된다.

+3점 · 피드백이 있는 경우

5) 위의 결과에 의해 피드백이 있는 경우 왜곡의 정도는 다음과 같이 계산된다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{H(X\to+0)}{H(X\to\infty)}&=\frac{H(G\to G_0)}{H(G\to1)}\\&=\frac{1+a}{\frac1{G_0}+a}=G_0\frac{1+a}{1+aG_0}\end{aligned}$

+4점 · 신호 왜곡 감소 설명

6) $\displaystyle G_0>1$ 일 경우 항상 $\displaystyle G_0>G_0\frac{1+a}{1+aG_0}$ 이므로 피드백이 있는 경우, 피드백이 없는 경우에 비해 신호 왜곡 현상이 줄어드는 것을 알 수 있다.

문제 2-1: 입력에서 출력을 빼는 방식을 사용하였으나 계수가 틀린 경우 2점. 수열의 점화식 등 다른 방식을 사용하여 논리적으로 답한 경우 계수의 정오에 따라 5~2점. 출력식의 방법과 형태는 유사하나 계수가 틀린 경우 3점. 이득의 정의는 이해했으나 오답이면 2점.

문제 2-2: 이득의 비율이 아닌 크기의 차이 등으로 평가하면 2점. 단조 감소 함수를 사용한다는 근거가 없거나 최대·최소를 반대로 제시하면 2점. 비율의 역수를 계산한 경우 각각 1점. 역수를 사용하여 반대로 도출하면 2점.

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