자연계열 2번

[문제 2-1]

전체 시스템의 이득은 다음과 같은 논리적 전개 과정을 통해 구할 수 있다.

$\displaystyle B:Y=a:1-a$의 비례식이 만족되어 다음의 식이 성립한다.

$\displaystyle B=\frac{a}{1-a}Y$

2) 음의 피드백이므로 증폭기로 입력되는 신호의 세기는 $\displaystyle X-B=X-\frac{a}{1-a}Y$이다.

3) 따라서 증폭기에서 출력되는 신호의 세기는 $\displaystyle G\left(X-\frac{a}{1-a}Y\right)$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}Y&=G(1-a)\left(X-\frac{a}{1-a}Y\right)\\&=G(1-a)X-aGY\\\therefore Y&=\frac{(1-a)G}{1+aG}X\end{aligned}$

[문제 2-2]

4) 전체 시스템의 이득을 H라 하면, 피드백이 있는 경우 [문제2-1]에서 얻어진 결과에 의해

$\displaystyle H=\frac{(1-a)G}{1+aG}=\frac{1-a}{\frac1G+a}$

이므로 G의 단조 증가 함수이다. 그러므로 H는 G가 최대일 때 (즉, $\displaystyle X\to+0$일 때) 최대, G가 최소일 때(즉, $\displaystyle X\to\infty$일 때) 최소가 된다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{H(X\to+0)}{H(X\to\infty)}&=\frac{H(G\to G_0)}{H(G\to1)}\\&=\frac{1+a}{\frac1{G_0}+a}=G_0\frac{1+a}{1+aG_0}\end{aligned}$