자연계열 1번

[논제 1]두 정수 $\displaystyle a,b$를 $\displaystyle n$으로 나눈 나머지가 각각 $\displaystyle r_a,r_b$이므로, $\displaystyle a=nk+r_a$, $\displaystyle b=nl+r_b$인 정수 $\displaystyle k,l$이 존재하고, $\displaystyle 0\le r_a,r_b\le n-1$이다. 따라서$\displaystyle ab=(nk+r_a)(nl+r_b)=n(nkl+r_bk+r_al)+r_ar_b$ ……①이고, $\displaystyle 0\le r_a,r_b\le n-1$이므로 $\displaystyle 0\le r_ar_b\le(n-1)^2$이다. $\displaystyle r_ar_b$를 $\displaystyle n$으로 나눈 나머지를 $\displaystyle s$라고 하자. 즉$\displaystyle r_ar_b=nt+s$, ($\displaystyle t,s$는 정수, $\displaystyle 0\le s\le n-1$)이다. ①에서$\displaystyle ab=n(nkl+r_bk+r_al)+r_ar_b=n(nkl+r_bk+r_al+t)+s$이다. 이로부터 $\displaystyle ab$를 $\displaystyle n$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle r_ar_b$를 $\displaystyle n$으로 나눈 나머지인 $\displaystyle s$이다. 따라서 [사실2]가 성립한다.

[논제 2]$\displaystyle 10$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이므로 [사실 2]를 이용하면, 임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle 10^k$를$\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 항상 $\displaystyle 1$이다. 다시 [사실 2]를 이용하면 임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a_k10^k$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle a_k$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지와 같다. 그러므로 [사실 1]에 의하여$\displaystyle a=\sum_{k=0}^ma_k10^k$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle \sum_{k=0}^ma_k$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지와 같다.

[논제 3]$\displaystyle 1=10^0$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 1$이다. $\displaystyle 10^1$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 3$이므로, [사실 2]를 이용하면 임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle 10^k$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 3^k$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같다. 따라서 $\displaystyle 10^0,10^1,10^2,10^3,10^4,10^5,10^6,10^7,10^8,10^9,10^{10}$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지들은 차례대로$\displaystyle 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6,4$이며, 이 결과와 [사실 1]과 [사실 2]로부터 $\displaystyle 37423476672$를 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는(*) $\displaystyle 2\times1+7\times3+6\times2+6\times6+7\times4+4\times5+3\times1+2\times3+4\times2+7\times6+3\times4=190$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같다.

이 방법을 반복해서 적용하면, $\displaystyle 190$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 0\times1+9\times3+1\times2=29$를 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같고, 이는 $\displaystyle 9\times1+2\times3=15$를 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같으며, 이는$\displaystyle 5\times1+1\times3=8$을 $\displaystyle 7$로 나눈 나머지와 같으므로, 구하는 답은 $\displaystyle 1$이다 ($\displaystyle 190$까지만 구하고 이를$\displaystyle 7$로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$이라고 쓰는 경우도 정답임)

[논제 4]$\displaystyle a=37423476672$이라고 하면 [논제 3]의 결과로부터 $\displaystyle a=7k+1$ ($\displaystyle k$는 정수)이다.$\displaystyle k$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지를 $\displaystyle r$ ($\displaystyle r=0,1,2$)이라고 하면 $\displaystyle k=3l+r$로 쓸 수 있으므로$\displaystyle a=7k+1=21l+7r+1$이다. [논제 2]에서의 방법을 반복 적용해 보면 $\displaystyle a=37423476672$를 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지는 $\displaystyle 0$이다. 그런데 $\displaystyle r=0,1,2$ 중에서 $\displaystyle 7r+1$을 $\displaystyle 3$으로 나눈 나머지가 $\displaystyle 0$인 경우는 $\displaystyle r=2$인 경우이다.따라서 $\displaystyle 37423476672$을 $\displaystyle 21$로 나눈 나머지는 $\displaystyle 7\times2+1=15$이다.

채점결과