자연계열 2번

[논제 1]A팀 1급 선수가 B팀 2급 선수를 선택하는 경우에 A팀이 우승하는 경우는 다음 두 가지다.(ⅰ) A팀 1급 선수가 승리하고, A팀 2급 선수가 둘 다 패배하지는 않는 경우(ⅱ) A팀 1급 선수가 패배하고, A팀 2급 선수 둘 다 승리하는 경우각각의 확률을 구하면,(ⅰ)의 확률 : $\displaystyle p\times(1-p^2)=p-p^3$(ⅱ)의 확률 : $\displaystyle (1-p)^3$이다. 그러므로$\displaystyle Q_1=(p-p^3)+(1-p)^3=-2p^3+3p^2-2p+1$

[논제 2]A팀 1급 선수가 B팀 1급 선수를 선택하는 경우에 A팀이 우승하는 경우는 다음 두 가지다.(ⅰ) A팀 1급 선수가 승리하고, A팀 2급 선수가 둘 다 패배하지는 않는 경우(ⅱ) A팀 1급 선수가 패배하고, A팀 2급 선수 둘 다 승리하는 경우각각의 확률을 구하면,(ⅰ)의 확률 : $\displaystyle \frac12\times(1-\frac12\times p)=\frac12-\frac14p$(ⅱ)의 확률 : $\displaystyle \frac12\times\frac12\times(1-p)=\frac14-\frac14p$이다. 그러므로 A팀 1급 선수가 B팀 1급 선수를 선택하는 경우에 A팀이 우승할 확률 $\displaystyle Q_2$는 다음과 같다.$\displaystyle Q_2=(\frac12-\frac14p)+(\frac14-\frac14p)=\frac34-\frac12p$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}Q_2-Q_1&=(\frac34-\frac12p)-(-2p^3+3p^2-2p+1)\\&=2p^3-3p^2+\frac32p-\frac14\\&=2(p-\frac12)^3>0\quad(\because p>\frac12)\end{aligned}$그러므로 A팀 1급 선수가 B팀 1급 선수를 선택하는 것이 A팀에 유리한 전략이다.

※ 다음과 같이 미분을 이용하여 $\displaystyle Q_2-Q_1>0$을 보일 수도 있음.$\displaystyle f(p)=2p^3-3p^2+\frac32p-\frac14$이라 하자.$\displaystyle f^{\prime}(p)=6p^2-6p+\frac32=\frac32(2p-1)^2\ge0$이므로 $\displaystyle f(p)$는 실수 전체에서 증가함수이다.$\displaystyle f(\frac12)=0$이므로, $\displaystyle p>\frac12$인 $\displaystyle p$에 대하여 $\displaystyle f(p)>0$이다.

채점결과