자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle f:N\to N\cup\{0\}$을 $\displaystyle f(n)=n-1$로 정의하자.$\displaystyle f(n_1)=f(n_2)$이면 $\displaystyle n_1-1=n_2-1$이므로 $\displaystyle n_1=n_2$이다.또 임의의 $\displaystyle m\in N\cup\{0\}$에 대하여 $\displaystyle m+1\in N$이고 $\displaystyle f(m+1)=m$이다.따라서 $\displaystyle f$는 일대일 대응함수이므로 두 집합의 크기는 서로 같다.

[논제 2] $\displaystyle A$의 진부분집합 $\displaystyle B$는 원소가 많아야 두 개이다.일대일함수 $\displaystyle f:A\to B$가 존재한다면 $\displaystyle f(1),f(2),f(3)$은 서로 다른 세 원소여야 하므로 모순이다.따라서 $\displaystyle A$와 그 진부분집합 사이에는 일대일 대응함수가 존재하지 않는다.칸토어의 정의에 따라 $\displaystyle A$는 유한집합이다.

[논제 3] $\displaystyle E=\{2,4,6,\cdots\}$라 하면 $\displaystyle E$는 $\displaystyle N$의 진부분집합이다.$\displaystyle f:N\to E$를 $\displaystyle f(n)=2n$으로 정의하자.$\displaystyle f(n_1)=f(n_2)$이면 $\displaystyle 2n_1=2n_2$이므로 $\displaystyle n_1=n_2$이고,임의의 $\displaystyle m\in E$에 대하여 $\displaystyle m/2\in N$, $\displaystyle f(m/2)=m$이다.따라서 $\displaystyle f$는 일대일 대응함수이며, $\displaystyle N$은 자신과 크기가 같은 진부분집합 $\displaystyle E$를 가진다.칸토어의 정의에 따라 $\displaystyle N$은 무한집합이다.