자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle 1/n$년마다 이율 $\displaystyle r_n$을 적용하는 복리의 1년간 원리합계 배율은 $\displaystyle (1+r_n)^n$이다.따라서 $\displaystyle (1+r_n)^n=1+r$이므로$\displaystyle r_n=(1+r)^{1/n}-1$이다.

[논제 2] 실수 $\displaystyle a,b$와 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 이항정리는$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{}_{n}\mathrm{C}_{k}a^{n-k}b^k$이다.$\displaystyle (1+r_{12})^{12}=1+r$의 좌변을 전개하면$\displaystyle r=12r_{12}+\sum_{k=2}^{12}{}_{12}\mathrm{C}_{k}r_{12}^k$이고, $\displaystyle r\to0$일 때 $\displaystyle r_{12}\to0$이다.따라서 $\displaystyle r_{12}$가 충분히 작으면 이차항 이상을 생략하여 $\displaystyle r\approx12r_{12}$로 근사할 수 있으므로$\displaystyle r_{12}\approx\frac r{12}$이다.

[논제 3] $\displaystyle c>0$일 때 $\displaystyle u=n/c$라 두면 $\displaystyle u\to\infty$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac cn\right)^n=\lim_{u\to\infty}\left\{\left(1+\frac1u\right)^u\right\}^c=e^c$이다. 따라서$\displaystyle W_1=\frac{e^r}{1+r},\qquad W_2=\frac{e^{\log_e(1+r)}}{1+r}=1$이다.$\displaystyle q(r)=r-\ln(1+r)$라 하면 $\displaystyle q(0)=0$이고, $\displaystyle r>0$에서 $\displaystyle q^{\prime}(r)=\frac r{1+r}>0$이므로 $\displaystyle r>\ln(1+r)$이다.따라서 $\displaystyle e^r>1+r$이므로 $\displaystyle W_1>1$, $\displaystyle W_2=1$이다.초단기근사효율지수가 정확히 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle t_n=\frac1n\log_e(1+r)$가 더 좋다.