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자연계열 2번

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단국대 2012학년도 수시 2차 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dankook/2012su_2/jayeon_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

<제시문>

올해 길동은 맛이 좋은 배추를 구매하여 김장을 하려고 한다. 이를 위해 길동은 서로 다른 맛의 배추를 판매하는 n\displaystyle n 군데 가게를 선택하였다.(단, n\displaystyle n은 n≥2\displaystyle n\ge 2인 정수이다.) 이들 가게를 각각 한 번씩 방문할 순서를 임의로 설정하고, 순서대로 가게에 들러 배추 맛을 본 후, 배추를 구매할 지 여부를 결정하려고 한다. 이 때 길동은 2≤m≤n\displaystyle 2\le m\le n인 정수 m\displaystyle m에 대해 다음과 같은 규칙-m\displaystyle m에 따라 구매 여부를 결정하려고 한다.

⑴ 첫 번째부터 (m−1)\displaystyle (m-1) 번째까지 방문한 가게에서는 배추를 구매하지 않는다.⑵ 이 후 방문한 가게의 배추 맛이 앞서 방문한 가게의 배추 맛에 비해 좋으면 구매한다.⑶ 일단 배추를 구매하면 더 이상 가게를 방문하지 않는다.

예를 들어 n=4\displaystyle n=4일 때 규칙-3을 사용한다고 하자. 길동은 우선 네 가게를 방문할 순서를 정한다. 그리고 첫 번째와 두 번째 방문한 가게에서는 배추 맛을 보지만 구매는 하지 않는다. 세 번째 가게의 배추 맛이 첫 번째와 두 번째 가게의 배추 맛에 비해 좋으면 길동은 세 번째 가게에서 배추를 구매하고 더 이상 가게를 방문하지 않는다. 그렇지 않으면 길동은 구매를 하지 않고 네 번째 가게를 방문한다. 만약 네 번째 가게의 배추 맛이 첫 번째부터 세 번째까지 방문한 가게의 배추 맛에 비해 좋으면 길동은 네 번째 가게에서 배추를 구매한다. 그렇지 않으면 길동은 배추를 구매하지 않고 (가게는 네 군데 뿐이므로) 결국 아무 배추도 구매하지 못하게 된다.

[논제 1] 가게의 수 n=4\displaystyle n=4이고 규칙-2를 사용한다고 하자. 첫째, 길동이 세 번째 방문한 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매할 확률을 구하시오. 둘째, 세 번째 방문한 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매할 때 세 번째 가게에서 길동이 배추를 구매할 확률을 구하시오. 셋째, 길동이 가장 맛이 좋은 배추를 구매할 확률을 구하시오. (10점)

[논제 2] n≥2\displaystyle n\ge 2인 정수 n\displaystyle n과 2≤m≤n\displaystyle 2\le m\le n인 정수 m\displaystyle m에 대해 규칙-m\displaystyle m을 사용할 때 길동이 결국 아무 배추도 구매하지 못할 확률 q(m)\displaystyle q(m)을 구하시오. (5점)

[논제 3] n≥2\displaystyle n\ge 2인 정수 n\displaystyle n과 2≤m≤n\displaystyle 2\le m\le n인 정수 m\displaystyle m에 대해 규칙-m\displaystyle m을 사용할 때 길동이 가장 맛이 좋은 배추를 구매할 확률 p(m)\displaystyle p(m)을 구하시오. (15점)

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단국대 2012학년도 수시 2차 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dankook/2012su_2/jayeon_2

[논제 1] (배점 10점)

첫째, 네 군데 가게를 방문하는 순서의 가짓수는 4!=24\displaystyle 4!=24이다. 또한 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 세 번째에 방문하는 순서의 가짓수는 3!=6\displaystyle 3!=6이다. 따라서 세 번째 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매할 확률은 3!4!=14\displaystyle \frac{3!}{4!}=\frac{1}{4}이다.

둘째, 세 번째 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매할 때 길동이 세 번째 가게에서 배추를 구매하기 위해, 첫 번째 가게의 배추 맛이 두 번째 가게의 배추 맛 보다 좋아야 한다. 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 제외한 세 가게 중 서로 다른 두 가게를 선택하는 방법은 모두 세 가지이다. 또한 선택한 두 가게를 길동이 첫 번째와 두 번째에 방문하는 순서의 가짓수는 2이다. 한편 선택한 두 가게 중 맛이 더 좋은 배추를 판매하는 가게를 길동이 첫 번째에 방문하고 그렇지 않은 가게를 길동이 두 번째에 방문하는 순서의 가짓수는 1이다. 그러므로 세 번째 방문한 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매할 때 길동이 세 번째 가게에서 배추를 구매할 확률은 3×13×2=12\displaystyle \frac{3\times 1}{3\times 2}=\frac{1}{2}이다.

셋째, 세 번째 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매하고 길동이 세 번째 가게에서 배추를 구매할 확률은 12×14=18\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{8}이다. 유사하게 두 번째 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매하고 길동이 두 번째 가게에서 배추를 구매할 확률은 1×14=14\displaystyle 1\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}이고, 네 번째 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매하고 길동이 네 번째 가게에서 배추를 구매할 확률은 13×14=112\displaystyle \frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}이다. 길동이 가장 맛이 좋은 배추를 구매할 확률은 위 세 가지 확률의 합이고 따라서 14+18+112=1124\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{11}{24}이다.

[논제 2] (배점 5점)

규칙-m\displaystyle m을 사용할 때 길동이 결국 아무 배추도 구매하지 못할 확률은 가장 맛이 좋은 배추를 첫 번째부터 (m−1)\displaystyle (m-1) 번째까지 방문한 가게 중 하나에서 판매할 확률과 같다. 1≤j≤m−1\displaystyle 1\le j\le m-1인 정수 j\displaystyle j에 대해 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 j\displaystyle j 번째 방문하는 순서의 가짓수는 (n−1)!\displaystyle (n-1)!이다. 그러므로q(m)=(n−1)!(m−1)n!=m−1n\displaystyle q(m)=\frac{(n-1)!(m-1)}{n!}=\frac{m-1}{n}

[논제 3] (배점 15점)

n≥2\displaystyle n\ge 2인 정수 n\displaystyle n과 2≤m≤k≤n\displaystyle 2\le m\le k\le n인 정수 m\displaystyle m과 k\displaystyle k에 대해 길동이 k\displaystyle k 번째 방문하는 가게에서 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 사건을 Ak\displaystyle A_{k}, 길동이 k\displaystyle k 번째 방문하는 가게에서 배추를 구매하는 사건을 Bk\displaystyle B_{k}라고 하자. 그러면 길동이 가장 맛이 좋은 배추를 구매할 확률은 다음과 같다.p(m)=∑k=mnP(Bk∩Ak)=∑k=mnP(Bk ∣ Ak)P(Ak)\displaystyle p(m)=\sum_{k=m}^{n}P(B_{k}\cap A_{k})=\sum_{k=m}^{n}P(B_{k}\,|\,A_{k})P(A_{k})

우선 길동이 n\displaystyle n 군데 가게를 방문하는 순서의 가짓수는 n!\displaystyle n!이다. 또한 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 길동이 k\displaystyle k 번째 방문하는 순서의 가짓수는 (n−1)!\displaystyle (n-1)!이다. 그러므로P(Ak)=(n−1)!n!=1n\displaystyle P(A_{k})=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}

다음 P(Bk ∣ Ak)\displaystyle P(B_{k}\,|\,A_{k})는 길동이 k\displaystyle k 번째 방문하는 가게에서 판매하는 배추가 가장 맛이 좋은 배추일 때, 첫 번째부터 (k−1)\displaystyle (k-1) 번째까지 방문하는 가게의 배추 중 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게가 첫 번째부터 (m−1)\displaystyle (m-1) 번째까지 방문하는 가게 중 하나일 확률과 같다. 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 제외한 (n−1)\displaystyle (n-1) 개의 가게 중 서로 다른 (k−1)\displaystyle (k-1) 개의 가게를 선택하는 방법은 모두 n−1Ck−1\displaystyle {}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1} 가지이다. 또한 길동이 선택한 (k−1)\displaystyle (k-1) 개의 가게를 방문하는 순서의 가짓수는 (k−1)!\displaystyle (k-1)!이다. 한편 1≤j≤m−1\displaystyle 1\le j\le m-1인 정수 j\displaystyle j에 대해 선택한 (k−1)\displaystyle (k-1) 개의 가게에서 판매하는 배추 중 가장 맛이 좋은 배추를 판매하는 가게를 j\displaystyle j 번째에 방문하는 순서의 가짓수는 (k−2)!\displaystyle (k-2)!이다. 그러므로P(Bk ∣ Ak)=n−1Ck−1(k−2)!(m−1)n−1Ck−1(k−1)!=m−1k−1\displaystyle P(B_{k}\,|\,A_{k})=\frac{{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}(k-2)!(m-1)}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}(k-1)!}=\frac{m-1}{k-1}

마지막으로 2≤m≤n\displaystyle 2\le m\le n인 정수 m\displaystyle m에 대해 길동이 가장 맛이 좋은 배추를 구매할 확률은 다음과 같다.p(m)=∑k=mn1nm−1k−1\displaystyle p(m)=\sum_{k=m}^{n}\frac{1}{n}\frac{m-1}{k-1}

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