자연계열 1번

[논제 1] (배점 10점)

직각삼각형의 세 변 $\displaystyle x,y,z$가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $\displaystyle r$을 공비라고 하면, $\displaystyle y=xr,z=xr^{2}$이다. $\displaystyle x,xr,xr^{2}$는 삼각형의 세변의 길이이므로 $\displaystyle x>0,xr>0,xr^{2}>0$이다. 따라서 $\displaystyle r>0$ 이다. $\displaystyle r>1$인 경우는 세변의 길이는 $\displaystyle x<xr<xr^{2}$이고, $\displaystyle 0<r<1$인 경우는 $\displaystyle x>xr>xr^{2}$이다.($\displaystyle r=1$인 경우는 피타고라스 정리를 만족하지 못한다.)

$\displaystyle x,xr,xr^{2}$은 직각삼각형의 세 변의 길이이므로 피타고라스 정리에 의해 다음 ①, ② 중 하나를 만족한다.$\displaystyle x^{2}+(xr)^{2}=(xr^{2})^{2}$에서 $\displaystyle r^{4}-r^{2}-1=0\cdots\cdots$①$\displaystyle (xr)^{2}+(xr^{2})^{2}=x^{2}$에서 $\displaystyle r^{4}+r^{2}-1=0\cdots\cdots$②

위의 $\displaystyle r$에 관한 방정식 ①, ②에서 $\displaystyle r>0$인 실수 $\displaystyle r$의 해를 구하면①에서 $\displaystyle r=\frac{\sqrt{2+2\sqrt{5}}}{2}$,　②에서 $\displaystyle r=\frac{\sqrt{-2+2\sqrt{5}}}{2}$ 이다.

[논제 2] (배점 10점)

직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{T}(a,b,c)$의 넓이와 둘레의 길이가 같으므로$\displaystyle a+b+c=\frac{1}{2}ab\cdots\cdots$①이고, 피타고라스 정리에 의해$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\cdots\cdots$②이다. ①로부터 얻은 $\displaystyle c=\frac{1}{2}ab-a-b$를 ②에 대입하면$\displaystyle a^{2}+b^{2}=\left(\frac{1}{2}ab-a-b\right)^{2}=\frac{1}{4}a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}-a^{2}b-ab^{2}+2ab$ 에서$\displaystyle 0=ab\left(\frac{1}{4}ab-a-b+2\right)$ 이다. $\displaystyle ab>0$이므로$\displaystyle 0=ab-4a-4b+8$　즉,$\displaystyle (a-4)(b-4)=8=2^{3}\cdots\cdots$③

이다. $\displaystyle a,b$가 모두 자연수이므로 방정식 ③을 만족하는 경우는($\displaystyle a=5$, $\displaystyle b=12$ 또는 $\displaystyle a=6$, $\displaystyle b=8$) 이거나 ($\displaystyle a=12$, $\displaystyle b=5$ 또는 $\displaystyle a=8$, $\displaystyle b=6$)뿐이다. 따라서 구하는 피타고라스 삼중쌍은 $\displaystyle \{6,8,10\},\{5,12,13\}$ 이다.

[논제 3] (배점 10점)

주어진 조건 $\displaystyle c_{1}=5,\ c_{2}=13,\ c_{3}=25,\ c_{4}=41,\ c_{5}=61,\ c_{6}=85,\cdots$에서$\displaystyle (c_{6}-c_{5})-(c_{5}-c_{4})=(c_{5}-c_{4})-(c_{4}-c_{3})=\cdots=(c_{3}-c_{2})-(c_{2}-c_{1})=4$이므로 수열 $\displaystyle \{c_{n}\}$의 계차수열은 공차가 4인 등차수열이다.Comment. 주어진 여섯 항만으로 계차수열이 등차수열이라고 단정할 수는 없다. 이 풀이는 같은 규칙이 계속된다고 해석한 것이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 수열 $\displaystyle \{c_{n}\}$의 일반항은 $\displaystyle c_{n}=5+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+4)=2n^{2}+2n+1$ 이다.

$\displaystyle \mathrm{T}(a_{n},b_{n},c_{n})$의 내접원의 반지름이 $\displaystyle n$이므로 직각삼각형의 내접원 성질에 의해$\displaystyle c_{n}=(a_{n}-n)+(b_{n}-n)$ 이다.따라서 $\displaystyle n=\frac{1}{2}(a_{n}+b_{n}-c_{n})$,　즉 $\displaystyle a_{n}+b_{n}=2n^{2}+4n+1\cdots\cdots$①이다. $\displaystyle \mathrm{T}(a_{n},b_{n},c_{n})$의 넓이가 $\displaystyle \frac{1}{2}a_{n}b_{n}=\frac{1}{2}n(a_{n}+b_{n}+c_{n})$이므로$\displaystyle a_{n}b_{n}=2n(n+1)(2n+1)\cdots\cdots$②이다. ①과 ②로부터$\displaystyle a_{n}=2n+1,\ b_{n}=2n(n+1)$ 이거나 $\displaystyle a_{n}=2n(n+1),\ b_{n}=2n+1$이다. 따라서 구하는 피타고라스 삼중쌍은 $\displaystyle \{2n+1,\ 2n^{2}+2n,\ 2n^{2}+2n+1\}$이다.