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자연계열 1번

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단국대 2013학년도 수시2차 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013mo/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

<제시문>

(가) 물체의 형태와 위치를 변화시켜 가며 모니터 화면에 매우 짧은 시간차를 두어 출력하여 물체가움직이는 것처럼 보이게 하는 것이 컴퓨터 애니메이션 분야의 기초 과제 중 하나이다. 화면 내물체의 경계를 다각형으로 표현할 수 있고, 다각형을 이루는 각 꼭짓점의 위치를 나타내는 좌표를 사용하여 해당 물체의 형태와 화면 내의 배치를 결정할 수 있다. 2D 애니메이션을 위해 다각형의 형태와 배치의 변화를 수학적으로 표현하고자 할 때, 개별 꼭짓점의 이동을 독립적으로묘사할 수도 있지만, 평면 내의 변환을 사용한다면 도형 전체에 일관성과 기하학적 의미를 갖는‘효과’를 줄 수 있다.

(나) 좌표 평면 상의 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)를 P′(x′,y′)\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})에 대응시키는 다음의 관계식g:(x,y)→(x′,y′)\displaystyle g:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime}),　(x′y′)=(abcd)(xy)+(ef)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}　(a)로 정의되는 변환이 도형의 기초적인 변화를 표현할 수 있다. (단, a,b,c,d,e,f\displaystyle a,b,c,d,e,f는 상수) 예를들어, 도형의 평행이동, 점이나 선에 대한 대칭, 점이나 방향에 대한 확대/축소, 점에 대한 회전, 특정 점을 중심으로 한 회전 등과 같은 효과를 식 (a)의 변환으로 표현할 수 있다. 특히,e=0,f=0\displaystyle e=0,f=0인 경우, 변환 g\displaystyle g를 일차변환이라 하고, 식 (a)에 나타나는 행렬(abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}를 일차변환 g\displaystyle g의 변환행렬이라 한다. 두 일차변환의 합성변환은 두 변환의 변환행렬의 곱으로표현가능하다.

(다) 식 (a)는 행렬의 곱 외에 행렬의 덧셈도 포함하고 있는데, 행렬의 곱만으로 표현된다면 관련된컴퓨터 프로그램을 일관성 있게 작성할 수 있는 장점이 있다. 평면 R2\displaystyle \mathbb R^2 상의 점 (x,y)\displaystyle (x,y)를 R3\displaystyle \mathbb R^3상의 점 (x,y,1)\displaystyle (x,y,1)로 대응시킬 수 있다. 이 때, (x,y)\displaystyle (x,y)가 동차좌표 (x,y,1)\displaystyle (x,y,1)을 가진다고 한다.식 (a)를 동차 좌표를 이용하여 행렬로 표현하면 다음과 같다.(x′y′1)=(abecdf001)(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b&e\\c&d&f\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}

[논제 1] 다음 그림에서 도형 A\displaystyle A에서 도형 B\displaystyle B로 옮기는 변환을 식 (a)의 형태로 나타내시오. 단, 점a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d는 각각 점 a′,b′,c′,d′\displaystyle a^{\prime},b^{\prime},c^{\prime},d^{\prime}으로 변환된다. (20점)

정사각형 A와 일차변환 후 평행이동한 평행사변형 B

[논제 2] 어떤 기하학적 변환이, y\displaystyle y축 방향으로만 상수 k\displaystyle k배만큼 확대시키고 계속해서 점 (s,t)\displaystyle (s,t)에 대해 대칭 이동하는 것이라고 할 때, 이 기하학적 변환을 동차 좌표를 이용하여 행렬로 나타내시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2013학년도 수시2차 모의논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013mo/jayeon_1

1. 점 (0,0)\displaystyle (0,0)이 점 (2,1)\displaystyle (2,1)로 옮겨지므로 식 (a)에서 e=2,f=1\displaystyle e=2,f=1이다. 점 (1,0)\displaystyle (1,0)이 점 (4,2)\displaystyle (4,2)로 옮겨지므로 식(a)에서 (42)=(abcd)(10)+(21)\displaystyle \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}이므로 a=2,c=1\displaystyle a=2,c=1이다. 또한, 점 (0,1)\displaystyle (0,1)이 점 (3,3)\displaystyle (3,3)으로 옮겨지므로 식 (a)에서(33)=(abcd)(01)+(21)\displaystyle \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}이므로 b=1,d=2\displaystyle b=1,d=2이다. 따라서(x′y′)=(2112)(xy)+(21)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}이다.[답]　(x′y′)=(2112)(xy)+(21)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

2. y\displaystyle y축 방향으로만 상수 k\displaystyle k배만큼 확대시키는 변환에 의해 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)가 x′=x\displaystyle x^{\prime}=x, y′=ky\displaystyle y^{\prime}=ky를 만족하는점 P′(x′,y′)\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})에 대응되므로, 해당 행렬표현은 (x′y′)=(100k)(xy)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}이다. 이를 동차좌표를 이용하여 표현하면 다음과 같다.(x′y′1)=A(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix},　A=(1000k0001)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{pmatrix}

한편, 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)를 점 (s,t)\displaystyle (s,t)에 대하여 대칭이동한 좌표를 P′(x′,y′)\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})이라고 하자. 이때, (s,t)\displaystyle (s,t)는 선분PP′\displaystyle PP^{\prime}의 중점이므로 다음이 성립한다.x+x′2=s\displaystyle \frac{x+x^{\prime}}2=s, y+y′2=t\displaystyle \frac{y+y^{\prime}}2=t. 즉, x′=−x+2s\displaystyle x^{\prime}=-x+2s, y′=−y+2t\displaystyle y^{\prime}=-y+2t.이를 행렬로 표현하면,(x′y′)=(−100−1)(xy)+(2s2t)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2s\\2t\end{pmatrix}이에 해당하는 동차좌표 표현은 다음과 같다.(x′y′1)=B(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}, B=(−102s0−12t001)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-1&2t\\0&0&1\end{pmatrix}

이동한 결과를 동차 좌표계를 이용하여 표현하면(x′y′1)=(−102s0−12t001)(1000k0001)(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-1&2t\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}이므로 (x′y′1)=C(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} 또는 C=BA=(−102s0−k2t001)\displaystyle C=BA=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-k&2t\\0&0&1\end{pmatrix}이다.[답]　(x′y′1)=(−102s0−k2t001)(xy1)\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-k&2t\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}

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