자연계열 1번

1. 점 $\displaystyle (0,0)$이 점 $\displaystyle (2,1)$로 옮겨지므로 식 (a)에서 $\displaystyle e=2,f=1$이다. 점 $\displaystyle (1,0)$이 점 $\displaystyle (4,2)$로 옮겨지므로 식(a)에서 $\displaystyle \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle a=2,c=1$이다. 또한, 점 $\displaystyle (0,1)$이 점 $\displaystyle (3,3)$으로 옮겨지므로 식 (a)에서$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle b=1,d=2$이다. 따라서$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$이다.[답]　$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

2. $\displaystyle y$축 방향으로만 상수 $\displaystyle k$배만큼 확대시키는 변환에 의해 점 $\displaystyle P(x,y)$가 $\displaystyle x^{\prime}=x$, $\displaystyle y^{\prime}=ky$를 만족하는점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$에 대응되므로, 해당 행렬표현은 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$이다. 이를 동차좌표를 이용하여 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$,　$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

한편, 점 $\displaystyle P(x,y)$를 점 $\displaystyle (s,t)$에 대하여 대칭이동한 좌표를 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})$이라고 하자. 이때, $\displaystyle (s,t)$는 선분$\displaystyle PP^{\prime}$의 중점이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \frac{x+x^{\prime}}2=s$, $\displaystyle \frac{y+y^{\prime}}2=t$. 즉, $\displaystyle x^{\prime}=-x+2s$, $\displaystyle y^{\prime}=-y+2t$.이를 행렬로 표현하면,$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2s\\2t\end{pmatrix}$이에 해당하는 동차좌표 표현은 다음과 같다.$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$, $\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-1&2t\\0&0&1\end{pmatrix}$

이동한 결과를 동차 좌표계를 이용하여 표현하면$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-1&2t\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&k&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$이므로 $\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$ 또는 $\displaystyle C=BA=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-k&2t\\0&0&1\end{pmatrix}$이다.[답]　$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&2s\\0&-k&2t\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$