자연계열 2번

(가) (a) 함수 $\displaystyle F(x)$의 도함수가 $\displaystyle f(x)$일 때(즉, $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$일 때), $\displaystyle F(x)$를 $\displaystyle f(x)$의 부정적분이라 하고, $\displaystyle \int f(x)\,dx$로 표기한다.

(b) 두 다항함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$에 대하여 다음이 성립한다.$\displaystyle \int\alpha f(x)+\beta g(x)\,dx=\alpha\int f(x)\,dx+\beta\int g(x)\,dx$ (단, $\displaystyle \alpha,\beta$는 상수)

(c) $\displaystyle n+1$개의 실수 $\displaystyle a_0,a_1,\cdots,a_n$(단, $\displaystyle a_n\ne0$)을 계수로 가지는 $\displaystyle n$차 다항함수$\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$의 부정적분이 다음과 같다.$\displaystyle \int f(x)\,dx=\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_{n-1}}n x^n+\cdots+\frac{a_1}2x^2+a_0x+C$　(단, $\displaystyle C$는 상수)

(d) 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 음이 아닌 값을 가질 때, 우측 그림과같이 그래프 $\displaystyle y=f(x)$가 $\displaystyle x$축과 이루는 면적을 그 구간에서의 $\displaystyle f(x)$의정적분이라 하고, $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$로 표기한다. 이 때, 함수 $\displaystyle F(x)$가 $\displaystyle f(x)$의 부정적분의 하나이면, 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$

(e) $\displaystyle \int_0^1x^n(1-x)^2\,dx=\int_0^1(x^{n+2}-2x^{n+1}+x^n)\,dx=\frac1{n+3}-\frac2{n+2}+\frac1{n+1}=\frac2{(n+1)(n+2)(n+3)}$(단, $\displaystyle n$은 자연수)

(나) $\displaystyle xy$ 평면 위의 점 $\displaystyle A(0,m)$와 점 $\displaystyle B(1,n)$를 지나는 곡선을 $\displaystyle y=f(x)$의 형태로 표현할 때,$\displaystyle f(x)$가 1차 다항식이면,　$\displaystyle f(x)=nx+m(1-x)$$\displaystyle f(x)$가 2차 다항식이면, 어떤 실수 $\displaystyle p$에 대하여　$\displaystyle f(x)=nx^2+px(1-x)+m(1-x)^2$$\displaystyle f(x)$가 3차 다항식이면, 어떤 실수 $\displaystyle p,q$에 대하여　$\displaystyle f(x)=nx^3+px^2(1-x)+qx(1-x)^2+m(1-x)^3$의 꼴로 나타낼 수 있다.

(다) 정의역이 일치하는 두 연속함수 $\displaystyle f:[a,b]\to\mathbb R$, $\displaystyle x\to f(x)$, $\displaystyle g:[a,b]\to\mathbb R$, $\displaystyle x\to g(x)$에 대하여, 두 함수가 ‘차이나는 정도’를 나타내는 다양한 ‘척도’ 중 하나가 다음과 같은 정적분이다.$\displaystyle E_{(f,g)}=\int_a^b[f(x)-g(x)]^2\,dx$여기서, $\displaystyle \mathbb R$은 실수의 집합을 나타낸다.