자연계열 2번

(a) 두 함수가 양단에서 일치하기 위해 $\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(1)=1$을 만족하여야 한다. 제시문 (가)에 의하면Correction. 풀이 (a)의 제시문 (가)는 제시문 (나)의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(0)=0$, $\displaystyle f(1)=1$을 만족하는 2차 함수 $\displaystyle f(x)$를 다음의 꼴로 쓸 수 있다.$\displaystyle f(x)=x^2+px(1-x)$[답]　$\displaystyle f(x)=x^2+px(1-x)$

(b) 두 함수 $\displaystyle f(x)=x^2+px(1-x)$와 $\displaystyle g(x)=x^3$가 차이나는 정도를 제시문 (다)에 제시된 척도 $\displaystyle E_{(f,g)}$로 나타내면 다음과 같이 $\displaystyle p$에 관한 2차 함수로 정리된다.$\displaystyle \begin{aligned}E_{(f,g)}&=\int_0^1[f(x)-g(x)]^2\,dx\\&=\int_0^1[x^2+px(1-x)-x^3]^2\,dx\\&=\int_0^1[px(1-x)+x^2(1-x)]^2\,dx\\&=p^2\int_0^1x^2(1-x)^2\,dx+2p\int_0^1x^3(1-x)^2\,dx+\int_0^1x^4(1-x)^2\,dx\\&=\frac2{3\cdot4\cdot5}p^2+\frac{2\cdot2}{4\cdot5\cdot6}p+\frac2{5\cdot6\cdot7}\\&=\frac1{30}p^2+2\frac1{60}p+\frac1{105}\end{aligned}$$\displaystyle p$에 관한 2차 함수 $\displaystyle E_{(f,g)}$의 대칭축의 위치로 이 식을 최소화하기 위한 $\displaystyle p$의 값을 구할 수 있다.$\displaystyle p=-\frac{\frac1{60}}{\frac1{30}}=-\frac12$

또는, 2차 함수 $\displaystyle E_{(f,g)}$가 극소가 되는 위치로부터 구할 수 있다.$\displaystyle \frac d{dp}E_{(f,g)}=\frac1{15}p+\frac1{30}=0$, $\displaystyle p=-\frac12$

결국, 정의역의 양단에서 일치하면서 제시된 척도에 따라 $\displaystyle g(x)=x^3$에 가장 근접하는 2차 함수가 다음과같다.$\displaystyle f(x)=x^2-\frac12x(1-x)=\frac32x^2-\frac12x=\frac12x(3x-1)$[답]　$\displaystyle f:[0,1]\to\mathbb R$, $\displaystyle x\to f(x)=\frac32x^2-\frac12x$