수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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단국대 2013학년도 수시2차 논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013su_2/jayeon_1

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문제

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

<제시문>

(가) 다음과 같이 상수항이 없는 일차식에 따라 좌표평면 위의 점 P(x,y)\displaystyle P(x,y)를 점 P′(x′,y′)\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime})에 대응시키는 변환을 일차변환이라 한다.{x′=ax+byy′=cx+dy\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}　(단, a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d는 상수)좌표평면 위의 점을 일차변환 후 평행이동시키는 변환을 다음과 같이 상수항을 포함한 일차식으로표현할 수 있다.(a) g:(x,y)→(x′,y′)\displaystyle g:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime}), {x′=ax+by+ey′=cx+dy+f\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by+e\\y^{\prime}=cx+dy+f\end{cases}　(단, a,b,c,d,e,f\displaystyle a,b,c,d,e,f는 상수)이를 다음과 같이 행렬을 사용하여 간략히 나타낼 수 있다.(b) g:X→AX+B\displaystyle g:X\to AX+B, g(X)=AX+B\displaystyle g(X)=AX+B　여기서, A=(abcd)\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, X=(xy)\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, B=(ef)\displaystyle B=\begin{pmatrix}e\\f\end{pmatrix}또는(c) g=(A,B)\displaystyle g=(A,B)도형의 평행이동, 점이나 선에 대한 대칭이동, 점이나 방향에 대한 확대/축소, 한 점을 중심으로한 회전 등을 (a), (b), (c)와 같은 형식으로 표현할 수 있다.

(나) 두 변환 f\displaystyle f와 g\displaystyle g의 합성변환을 f∘g\displaystyle f\circ g로 나타내고 변환 g\displaystyle g를 n\displaystyle n번 합성한 변환을 gn\displaystyle g^n으로 표기한다.(단, n\displaystyle n은 자연수) 예를 들어, g3=g∘g∘g\displaystyle g^3=g\circ g\circ g이다.

(다) 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}, {cn}\displaystyle \{c_n\}, {dn}\displaystyle \{d_n\}이 수렴하고 lim⁡n→∞an=a\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=a, lim⁡n→∞bn=b\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=b, lim⁡n→∞cn=c\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=c, lim⁡n→∞dn=d\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=d일 때,행렬 (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}는 행렬 (anbncndn)\displaystyle \begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}의 극한이고, 이것을 다음과 같이 나타낸다.lim⁡n→∞(anbncndn)=(abcd)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}a_n&b_n\\c_n&d_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

[논제 1] A=(−2−131)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}, B=(34)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}, g=(A,B)\displaystyle g=(A,B)일 때, 합성변환 g2013\displaystyle g^{2013}을 제시문 (가)의 (c) 형식으로 표현하시오. (단, E\displaystyle E는 2차 정사각 단위행렬이고, O\displaystyle O는 2차 정사각 영행렬이다.) (15점)

[논제 2] S=(2335)\displaystyle S=\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}, C=(120013)\displaystyle C=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac13\end{pmatrix}, B=(12)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}일 때, 변환 g\displaystyle g를 g=(S−1CS,B)\displaystyle g=(S^{-1}CS,B)라 하자.n\displaystyle n이 한없이 커짐에 따라 gn\displaystyle g^n에 의해 중심이 (1,1)\displaystyle (1,1)이고, 반지름이 1\displaystyle 1인 원이 무엇으로 수렴하는지논술하시오. (25점)

해설강의 준비중

단국대 2013학년도 수시2차 논술 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013su_2/jayeon_1

+5점 · g2013(X)=A2013X+(A2012+A2011+⋯+A+E)B\displaystyle g^{2013}(X)=A^{2013}X+(A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E)B를 제시

[논제 1]g(X)=AX+B,\displaystyle g(X)=AX+B,g2(X)=A(AX+B)+B=A2X+AB+B=A2X+(A+E)B,\displaystyle g^2(X)=A(AX+B)+B=A^2X+AB+B=A^2X+(A+E)B,g3(X)=A(A2X+(A+E)B)+B=A3X+(A2+A+E)B,\displaystyle g^3(X)=A(A^2X+(A+E)B)+B=A^3X+(A^2+A+E)B,⋯\displaystyle \cdots와 같은 규칙을 적용하면g2013(X)=A2013X+(A2012+A2011+⋯+A+E)B\displaystyle g^{2013}(X)=A^{2013}X+(A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E)B

+3점 · A2013=E\displaystyle A^{2013}=E를 제시

이다.　A2=(−2−131)(−2−131)=(11−3−2)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}, A3=A2A=(11−3−2)(−2−131)=E\displaystyle A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}=EA3=E\displaystyle A^3=E이므로 A2013=(A3)671=E\displaystyle A^{2013}=(A^3)^{671}=E이고

+2점 · A2012+A2011+⋯+A+E=O\displaystyle A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E=O를 제시

A2+A+E=(11−3−2)+(−2−131)+(1001)=O\displaystyle A^2+A+E=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=O이다.따라서g2013(X)=A2013X+(A2012+A2011+⋯+A+E)B=EX+671(A2+A+E)B\displaystyle \begin{aligned}g^{2013}(X)&=A^{2013}X+(A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E)B\\&=EX+671(A^2+A+E)B\end{aligned}

+5점 · g2013=(E,O)\displaystyle g^{2013}=(E,O)를 제시

이다. 즉,g2013=(E,O)\displaystyle g^{2013}=(E,O) 또는 g2013=((1001),(0000))\displaystyle g^{2013}=\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\right)Correction. 최종 답안의 2×2\displaystyle 2\times2 영행렬은 2×1\displaystyle 2\times1 영벡터로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

+5점 · gn=(S−1CnS,S−1(Cn−1+Cn−2+⋯+C+E)SB)\displaystyle g^n=(S^{-1}C^nS,S^{-1}(C^{n-1}+C^{n-2}+\cdots+C+E)SB)를 제시

[논제 2]g=(S−1CS,B)=(A,B)\displaystyle g=(S^{-1}CS,B)=(A,B)라 하면, 임의의 자연수 n\displaystyle n에 대하여gn=(An,(An−1+An−2+⋯+A+E)B)\displaystyle g^n=(A^n,(A^{n-1}+A^{n-2}+\cdots+A+E)B)이다.An=(S−1CS)(S−1CS)⋯(S−1CS)=(S−1C)(SS−1)C(SS−1)⋯(SS−1)(CS)\displaystyle A^n=(S^{-1}CS)(S^{-1}CS)\cdots(S^{-1}CS)=(S^{-1}C)(SS^{-1})C(SS^{-1})\cdots(SS^{-1})(CS)즉,An=S−1CnS\displaystyle A^n=S^{-1}C^nS이다. 따라서gn=(S−1CnS,S−1(Cn−1+Cn−2+⋯+C+E)SB)\displaystyle g^n=(S^{-1}C^nS,S^{-1}(C^{n-1}+C^{n-2}+\cdots+C+E)SB)이다.

+5점 · lim⁡n→∞S−1CnS=O\displaystyle \lim_{n\to\infty}S^{-1}C^nS=O를 제시

lim⁡n→∞Cn=lim⁡n→∞((12)n00(13)n)=O\displaystyle \lim_{n\to\infty}C^n=\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}(\frac12)^n&0\\0&(\frac13)^n\end{pmatrix}=O이므로lim⁡n→∞An=O\displaystyle \lim_{n\to\infty}A^n=O

+5점 · lim⁡n→∞S−1(∑k=0n−1(12)k00∑k=0n−1(13)k)SB\displaystyle \lim_{n\to\infty}S^{-1}\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac12)^k&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}(\frac13)^k\end{pmatrix}SB를 제시

한편,lim⁡n→∞S−1(Cn−1+Cn−2+⋯+C+E)SB=lim⁡n→∞S−1(∑k=0n−1(12)k00∑k=0n−1(13)k)SB\displaystyle \lim_{n\to\infty}S^{-1}(C^{n-1}+C^{n-2}+\cdots+C+E)SB=\lim_{n\to\infty}S^{-1}\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac12)^k&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}(\frac13)^k\end{pmatrix}SB이므로lim⁡n→∞S−1(∑k=0n−1(12)k00∑k=0n−1(13)k)SB=S−1(11−120011−13)SB=S−1(20032)SB=(5−3−32)(20032)(2335)(12)=(432−9).\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}S^{-1}\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac12)^k&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}(\frac13)^k\end{pmatrix}SB&=S^{-1}\begin{pmatrix}\frac1{1-\frac12}&0\\0&\frac1{1-\frac13}\end{pmatrix}SB=S^{-1}\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac32\end{pmatrix}SB\\&=\begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{43}2\\-9\end{pmatrix}.\end{aligned}이다.

+5점 · lim⁡n→∞gn=(O,(432−9))\displaystyle \lim_{n\to\infty}g^n=(O,\begin{pmatrix}\frac{43}2\\-9\end{pmatrix})를 제시

결국,lim⁡n→∞gn=(O,(432−9))\displaystyle \lim_{n\to\infty}g^n=(O,\begin{pmatrix}\frac{43}2\\-9\end{pmatrix})이 되어,

+5점 · 중심이 (1,1)\displaystyle (1,1)이고, 반지름이 1\displaystyle 1인 원은 점 (432,−9)\displaystyle (\frac{43}2,-9)로 수렴한다를 제시

중심이 (1,1)\displaystyle (1,1)이고, 반지름이 1\displaystyle 1인 원은 점 (432,−9)\displaystyle (\frac{43}2,-9)로 수렴한다.

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