자연계열 1번

[논제 1]$\displaystyle g(X)=AX+B,$$\displaystyle g^2(X)=A(AX+B)+B=A^2X+AB+B=A^2X+(A+E)B,$$\displaystyle g^3(X)=A(A^2X+(A+E)B)+B=A^3X+(A^2+A+E)B,$$\displaystyle \cdots$와 같은 규칙을 적용하면$\displaystyle g^{2013}(X)=A^{2013}X+(A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E)B$

이다.　$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}$, $\displaystyle A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}=E$$\displaystyle A^3=E$이므로 $\displaystyle A^{2013}=(A^3)^{671}=E$이고 $\displaystyle A^2+A+E=\begin{pmatrix}1&1\\-3&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2&-1\\3&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=O$이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}g^{2013}(X)&=A^{2013}X+(A^{2012}+A^{2011}+\cdots+A+E)B\\&=EX+671(A^2+A+E)B\end{aligned}$

이다. 즉,$\displaystyle g^{2013}=(E,O)$ 또는 $\displaystyle g^{2013}=\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\right)$Correction. 최종 답안의 $\displaystyle 2\times2$ 영행렬은 $\displaystyle 2\times1$ 영벡터로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

[논제 2]$\displaystyle g=(S^{-1}CS,B)=(A,B)$라 하면, 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle g^n=(A^n,(A^{n-1}+A^{n-2}+\cdots+A+E)B)$이다.$\displaystyle A^n=(S^{-1}CS)(S^{-1}CS)\cdots(S^{-1}CS)=(S^{-1}C)(SS^{-1})C(SS^{-1})\cdots(SS^{-1})(CS)$즉,$\displaystyle A^n=S^{-1}C^nS$이다. 따라서$\displaystyle g^n=(S^{-1}C^nS,S^{-1}(C^{n-1}+C^{n-2}+\cdots+C+E)SB)$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}C^n=\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}(\frac12)^n&0\\0&(\frac13)^n\end{pmatrix}=O$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}A^n=O$

한편,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S^{-1}(C^{n-1}+C^{n-2}+\cdots+C+E)SB=\lim_{n\to\infty}S^{-1}\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac12)^k&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}(\frac13)^k\end{pmatrix}SB$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}S^{-1}\begin{pmatrix}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac12)^k&0\\0&\sum_{k=0}^{n-1}(\frac13)^k\end{pmatrix}SB&=S^{-1}\begin{pmatrix}\frac1{1-\frac12}&0\\0&\frac1{1-\frac13}\end{pmatrix}SB=S^{-1}\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac32\end{pmatrix}SB\\&=\begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac32\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{43}2\\-9\end{pmatrix}.\end{aligned}$이다.

결국,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}g^n=(O,\begin{pmatrix}\frac{43}2\\-9\end{pmatrix})$이 되어, 중심이 $\displaystyle (1,1)$이고, 반지름이 $\displaystyle 1$인 원은 점 $\displaystyle (\frac{43}2,-9)$로 수렴한다.