자연계열 2번

[논제 1]$\displaystyle k=1,2,\cdots,n$에 대하여,$\displaystyle \int_0^{n+1}h_k(x)\,dx=\int_{k-1}^{k+1}\{-|x-k|+1\}\,dx=\int_{-1}^1\{-|x|+1\}\,dx=2\int_0^1\{-x+1\}\,dx=1$또는, 정적분의 정의에 의해 함수 $\displaystyle h_k(x)$의 그래프 개형으로부터, $\displaystyle \int_0^{n+1}h_k(x)\,dx=1$이다.

$\displaystyle S_n=\int_0^{n+1}\left\{\sum_{k=1}^n(3^{-k}h_k(x))\right\}\,dx=\sum_{k=1}^n\left(3^{-k}\int_0^{n+1}h_k(x)\,dx\right)=\sum_{k=1}^n\left(\frac13\right)^k$$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\frac13}{1-\frac13}=\frac12$따라서$\displaystyle S=\frac12$이다.

[논제 2]제시문 (라-3)의 성질을 $\displaystyle g_k(x)$도 만족하므로, $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$ 모두 점 $\displaystyle (1,1)$, $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (3,-7)$, $\displaystyle (4,11)$을 지난다.제시문 (라)에서 제시된 방법을 따라 위의 4개의 점을 선분으로 이어 $\displaystyle h(x)$의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

그래프로부터 $\displaystyle x=2$에서 함수 $\displaystyle h(x)$가 극댓값을, $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 가짐을 알 수 있다.

함수 $\displaystyle g(x)$의 그래프를 그리기 위해 각 구간 $\displaystyle (k,k+1)$ ($\displaystyle k=1,2,3$)에서 함수가 위로 볼록한지, 아래로볼록한지, 극대나 극소가 존재하는지를 점검하여야 한다. 편의를 위해 $\displaystyle b_1=1$, $\displaystyle b_2=3$, $\displaystyle b_3=-7$, $\displaystyle b_4=11$이라 하면$\displaystyle g(x)=g_1(x)+3g_2(x)-7g_3(x)+11g_4(x)=\sum_{k=1}^4b_kg_k(x)$이다. 구간 $\displaystyle (k,k+1)$에서 최고차항의 계수인 $\displaystyle -(b_k+b_{k+1})$의 부호로 해당 구간의 그래프 개형(위로 볼록여부)을 점검할 수 있다. 제시문 (가)의 (c)에 의하면,$\displaystyle 0<\frac{b_{k+1}}{b_k+b_{k+1}}<1$일 때, 구간 $\displaystyle (k,k+1)$에서 극대나 극소가 존재함을 알 수 있다.

그래프로부터 정수 값 $\displaystyle x=3$에서 함수 $\displaystyle g(x)$가 극소임을 알 수 있다.이를 정리하면 다음과 같다.