자연계열 2번

단국대 2013학년도 수시2차 논술 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013su_2/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (30점)

(가) (a) 위로 볼록한 두 함수의 합은 위로 볼록하다.(b) 이차함수의 그래프가 위로 볼록한지 아래로 볼록한지를 최고차항 계수의 부호로 알 수 있다.(c) $\displaystyle p(x)=-(x-k)^2+1$ 이고 $\displaystyle q(x)=-\{x-(k+1)\}^2+1$ 일 때, $\displaystyle f(x)=ap(x)+bq(x)$ 　(단, $\displaystyle a,b,k$ 는 상수이고 $\displaystyle a+b\ne0$ )이라 하면 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=k+\frac b{a+b}$ 에서 극댓값 또는 극솟값 $\displaystyle (a+b)-\frac{ab}{a+b}$ 를 가진다.

(나) 두 다항함수 $\displaystyle u(x),v(x)$ 에 대하여 다음이 성립한다. $\displaystyle \int\{au(x)+bv(x)\}\,dx=a\int u(x)\,dx+b\int v(x)\,dx$ 　(단, $\displaystyle a,b$ 는 상수)

(다) 자동차의 가속도를 측정하여 그 자료를 순서쌍의 집합으로 나타내고자 한다. 자동차가 출발한 후 $\displaystyle k$ 분에 측정한 가속도를 $\displaystyle a_k$ 라 한다면 측정한 자료를 다음과 같은 순서쌍의 집합으로 나타낼 수있다. $\displaystyle \{(k,a_k)\mid k\in K\}$ ,　 $\displaystyle K=\{0,1,2,3,\cdots,n\}$ 단, $\displaystyle n$ 은 양의 정수이고 모든 $\displaystyle k\in K$ 에 대하여 $\displaystyle a_k\in R$ 이다. 여기서, $\displaystyle R$ 은 실수 전체의 집합을 나타낸다.

(라) 제시문 (다)와 같이 측정 자료를 순서쌍의 집합으로 나타낼 때 각 원소를 좌표평면 위의 점으로표현할 수 있다. 이 때, 실수 전체의 집합에서 다음과 같이 정의된 함수 $\displaystyle h_k(x)=\begin{cases}0&(x<k-1\text{ 또는 }x\ge k+1)\\-|x-k|+1&(k-1\le x<k+1)\end{cases}$ (단, $\displaystyle k=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ )

를 이용하면, 이웃한 두 점을 선분으로 잇는 연속함수를 체계적으로 구성할 수 있다. 예를 들어,자료 $\displaystyle (1,1)$ , $\displaystyle (2,3)$ , $\displaystyle (3,-7)$ , $\displaystyle (4,11)$ 의 이웃한 원소를 선분으로 이어 구성한 함수 $\displaystyle h(x)$ 를 다음과같이 표현할 수 있다. $\displaystyle h(x)=h_1(x)+3h_2(x)-7h_3(x)+11h_4(x)$ 이 방법은 함수 $\displaystyle h_k(x)$ 에 대한 다음의 성질을 활용하고 있다.(라-1) 두 일차함수의 합은 일차함수이거나 상수함수이다.(라-2) 연속함수의 합은 연속이다.(라-3) 정수 $\displaystyle m,k$ 에 대하여, $\displaystyle h_k(m)=\begin{cases}0&(m\ne k)\\1&(m=k)\end{cases}$

[논제 1] 양의 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle S_n=\int_0^{n+1}\left\{\sum_{k=1}^n(3^{-k}h_k(x))\right\}\,dx$ 일 때, $\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n$ 을 구하시오. (10점)

[논제 2] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle g_k(x)=\begin{cases}0&(x<k-1\text{ 또는 }x\ge k+1)\\-(x-k)^2+1&(k-1\le x<k+1)\end{cases}$ (단, $\displaystyle k=\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$ )와 제시문 (라)에서 정의된 함수 $\displaystyle h_k(x)$ 를 사용하여 두 함수 $\displaystyle h(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 를 실수 전체의 집합에서다음과 같이 정의하자. $\displaystyle \begin{aligned}h(x)&=h_1(x)+3h_2(x)-7h_3(x)+11h_4(x)\\g(x)&=g_1(x)+3g_2(x)-7g_3(x)+11g_4(x)\end{aligned}$ 이 때, 닫힌 구간 $\displaystyle [1,4]$ 에서 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 그래프의 개형을 그리시오. 그리고, $\displaystyle x=1,2,3,4$ 에서 $\displaystyle h(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 함숫값 및 열린 구간 $\displaystyle (1,4)$ 에서 극솟값과 극댓값을 구하여 다음 표를 완성하시오. (답안지에 표를 작성하시오.) (20점)

	함숫값				극솟값	극댓값
	$x=1$	$x=2$	$x=3$	$x=4$	극솟값	극댓값
함수 $h(x)$
함수 $g(x)$

해설강의 준비중

단국대 2013학년도 수시2차 논술 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2013su_2/jayeon_2

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{n+1}h_k(x)\,dx=1

을 제시

[논제 1] $\displaystyle k=1,2,\cdots,n$ 에 대하여, $\displaystyle \int_0^{n+1}h_k(x)\,dx=\int_{k-1}^{k+1}\{-|x-k|+1\}\,dx=\int_{-1}^1\{-|x|+1\}\,dx=2\int_0^1\{-x+1\}\,dx=1$ 또는, 정적분의 정의에 의해 함수 $\displaystyle h_k(x)$ 의 그래프 개형으로부터, $\displaystyle \int_0^{n+1}h_k(x)\,dx=1$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n(\frac13)^k

을 제시

$\displaystyle S_n=\int_0^{n+1}\left\{\sum_{k=1}^n(3^{-k}h_k(x))\right\}\,dx=\sum_{k=1}^n\left(3^{-k}\int_0^{n+1}h_k(x)\,dx\right)=\sum_{k=1}^n\left(\frac13\right)^k$

+2점 ·

\displaystyle S=\frac12

을 제시

$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\frac13}{1-\frac13}=\frac12$ 따라서 $\displaystyle S=\frac12$ 이다.

+5점 · 함수

\displaystyle g(x)

의 함숫값을 모두 제시

[논제 2]제시문 (라-3)의 성질을 $\displaystyle g_k(x)$ 도 만족하므로, $\displaystyle g(x)$ 와 $\displaystyle h(x)$ 모두 점 $\displaystyle (1,1)$ , $\displaystyle (2,3)$ , $\displaystyle (3,-7)$ , $\displaystyle (4,11)$ 을 지난다.

+5점 · 그래프의 개형을 제시

제시문 (라)에서 제시된 방법을 따라 위의 4개의 점을 선분으로 이어 $\displaystyle h(x)$ 의 그래프를 쉽게 그릴 수 있다.

네 점 (1,1), (2,3), (3,-7), (4,11)을 잇는 h의 그래프

+5점 · 함수

\displaystyle h(x)

의 함숫값, 극솟값, 극댓값을 모두 제시

그래프로부터 $\displaystyle x=2$ 에서 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 극댓값을, $\displaystyle x=3$ 에서 극솟값을 가짐을 알 수 있다.

+5점 · 함수

\displaystyle g(x)

의 극솟값과 극댓값을 모두 제시

함수 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프를 그리기 위해 각 구간 $\displaystyle (k,k+1)$ ( $\displaystyle k=1,2,3$ )에서 함수가 위로 볼록한지, 아래로볼록한지, 극대나 극소가 존재하는지를 점검하여야 한다. 편의를 위해 $\displaystyle b_1=1$ , $\displaystyle b_2=3$ , $\displaystyle b_3=-7$ , $\displaystyle b_4=11$ 이라 하면 $\displaystyle g(x)=g_1(x)+3g_2(x)-7g_3(x)+11g_4(x)=\sum_{k=1}^4b_kg_k(x)$ 이다. 구간 $\displaystyle (k,k+1)$ 에서 최고차항의 계수인 $\displaystyle -(b_k+b_{k+1})$ 의 부호로 해당 구간의 그래프 개형(위로 볼록여부)을 점검할 수 있다. 제시문 (가)의 (c)에 의하면, $\displaystyle 0<\frac{b_{k+1}}{b_k+b_{k+1}}<1$ 일 때, 구간 $\displaystyle (k,k+1)$ 에서 극대나 극소가 존재함을 알 수 있다.

$k$	구간 $(k,k+1)$	$(b_k,b_{k+1})$	$b_k+b_{k+1}$	볼록	$\frac{b_{k+1}}{b_k+b_{k+1}}$	극대 극소	극대, 극솟값 $(b_k+b_{k+1})-\frac{b_kb_{k+1}}{b_k+b_{k+1}}$
1	$(1,2)$	$(1,3)$	$4>0$	위로	$0<\frac34<1$	극대	$\frac{13}{4}$
2	$(2,3)$	$(3,-7)$	$-4<0$	아래로	$\frac74>1$	없음	없음
3	$(3,4)$	$(-7,11)$	$4>0$	위로	$\frac{11}{4}>1$	없음	없음

이를 그래프로 그리면 다음과 같다.

그래프로부터 정수 값 $\displaystyle x=3$ 에서 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 극소임을 알 수 있다.이를 정리하면 다음과 같다.

	함숫값 $\displaystyle x=1$	$\displaystyle x=2$	$\displaystyle x=3$	$\displaystyle x=4$	극솟값	극댓값
함수 $\displaystyle h(x)$	1	3	$\displaystyle -7$	11	$\displaystyle -7$	3
함수 $\displaystyle g(x)$	1	3	$\displaystyle -7$	11	$\displaystyle -7$	$\displaystyle \frac{13}4$

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