자연계열 1번

[논제 1]$\displaystyle r=2$일 때, $\displaystyle C_k(p_k,q_k)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle (p_1,q_1)=(0,\frac12),$$\displaystyle (p_2,q_2)=(0,\frac12-\frac1{2^2}),$$\displaystyle (p_3,q_3)=(0,\frac12-\frac1{2^2}+\frac1{2^3}),$$\displaystyle \vdots$

따라서 구하는 값은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=\sum_{n=1}^\infty\frac12\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac13$이다.

[논제 2]$\displaystyle (p_1,q_1)$은 $\displaystyle S_1$의 중심 $\displaystyle (0,-\frac34)$를 원점을 중심으로 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 회전이동한 점이므로, (*)에서$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$이고,$\displaystyle \begin{pmatrix}p_1\\q_1\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}0\\-\frac34\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+\frac34\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이다.

또한 $\displaystyle (p_2,q_2)$는 $\displaystyle (p_1,q_1)$을 중심으로 점 $\displaystyle \left(\frac34+\frac14(1-\frac14),0\right)$을 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 회전이동한 점,즉 원점을 중심으로 점 $\displaystyle \left(\frac14(1-\frac14),0\right)$을 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 회전이동한 점을 $\displaystyle x$축으로 $\displaystyle p_1$만큼, $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle q_1$만큼평행이동한 점이다. 따라서$\displaystyle \begin{pmatrix}p_2\\q_2\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}\frac14-\frac1{4^2}\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p_1\\q_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_1\\q_1\end{pmatrix}+\frac3{4^2}A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle (p_3,q_3)$은 점 $\displaystyle (p_2,q_2)$를 중심으로 점 $\displaystyle \left(0,\frac1{4^2}\times\frac34\right)$을 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 회전이동한 점이다.이것은 $\displaystyle (p_2,q_2)$를 중심으로 점 $\displaystyle \left(\frac1{4^2}\times\frac34,0\right)$을 $\displaystyle \frac\pi2$만큼씩 2번 회전이동한 점을 뜻하므로$\displaystyle \begin{pmatrix}p_3\\q_3\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}0\\\frac1{4^2}-\frac1{4^3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p_2\\q_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_2\\q_2\end{pmatrix}+\frac3{4^3}A^2\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이다. 마찬가지로$\displaystyle \begin{aligned}\begin{pmatrix}p_4\\q_4\end{pmatrix}&=A\begin{pmatrix}-\frac1{4^3}+\frac1{4^4}\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p_3\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_3\\q_3\end{pmatrix}+\frac3{4^4}A^3\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\\\begin{pmatrix}p_5\\q_5\end{pmatrix}&=A\begin{pmatrix}0\\-\frac1{4^4}+\frac1{4^5}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p_4\\q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_4\\q_4\end{pmatrix}+\frac3{4^5}A^4\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.\end{aligned}$

이다. 가장 작은 원 $\displaystyle S_n$을 이동시킨 원의 중심 $\displaystyle (p_n,q_n)$은 $\displaystyle (p_{n-1},q_{n-1})$을 중심으로 점 $\displaystyle \left(\frac1{4^{n-1}}\times\frac34,0\right)$을$\displaystyle \frac\pi2$만큼씩 $\displaystyle (n-1)$번 회전이동한 점이다. 즉,$\displaystyle \begin{pmatrix}p_n\\q_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{n-1}\\q_{n-1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\frac34\left(\frac14\right)^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{n-1}\\q_{n-1}\end{pmatrix}+\frac3{4^n}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$이다. 그러므로 주어진 식과 비교하면$\displaystyle B=\frac3{4^n}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}$임을 알 수 있다.