자연계열 2번

[논제 1]먼저, $\displaystyle m$의 접점의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 하면, 점 $\displaystyle (b,a)$는 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점이므로$\displaystyle b^3+3b+2=a$　…………… (*)를 만족시킨다. 한편 역함수의 미분법에 의하여 점 $\displaystyle (b,a)$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$에 접하는 접선은 $\displaystyle l$이고,$\displaystyle l$의 방정식 $\displaystyle y=(3b^2+3)(x-b)+a$가 원점을 지나므로$\displaystyle a=3b(b^2+1)$　…………… (**)을 얻는다.

연립방정식 (*), (**)를 풀어 $\displaystyle a=6,b=1$을 얻고, 구하려는 접점 $\displaystyle (6,1)$을 얻는다. 또한 직선 $\displaystyle l$의 방정식에 $\displaystyle a=6,b=1$을 대입하여 $\displaystyle y=6x$를 얻고, 이 직선에 $\displaystyle y=x$대칭인 직선 $\displaystyle m$의 방정식은$\displaystyle y=\frac16x$이다.

[논제 2]구간 $\displaystyle [0,1]$을 $\displaystyle n$등분하여 차례로$\displaystyle x_0=0,x_1,x_2,\cdots,x_n=1$이라 하면, $\displaystyle x_k=\frac kn$에서 ‘원의 넓이’(제시문 그림에서 $\displaystyle S$)는 $\displaystyle \pi\{f(\frac kn)\}^2$이다. 또한 $\displaystyle n-k=m$이라 할 때

조건 (c)에 의해서 ‘원의 넓이’$\displaystyle =\frac{k^2m^2}{(k+m)^4}$와 같이 표현된다. 그러므로$\displaystyle \pi\left\{f\left(\frac kn\right)\right\}^2=\frac{k^2m^2}{(k+m)^4}=\frac{k^2(n-k)^2}{n^4}=\frac{k^2}{n^2}\left(1-\frac kn\right)^2$에서$\displaystyle f\left(\frac kn\right)=\frac1{\sqrt\pi}\frac kn\left(1-\frac kn\right)$를 얻는다.

한편, 구하고자 하는 영역의 넓이를 $\displaystyle D$라 하면$\displaystyle D=2\times$(곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$로 둘러싸인 영역의 넓이)이므로, 구분구적법에 의해$\displaystyle D=2\times\lim_{N\to\infty}\sum_{k=1}^Nf\left(\frac kn\right)\frac1n=\frac2{\sqrt\pi}\int_0^1x(1-x)\,dx=\frac1{3\sqrt\pi}$Correction. 구분구적식의 극한 변수와 합의 상한 $\displaystyle N$은 분할 수 $\displaystyle n$과 같은 기호로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.