자연계열 1번

[논제 1]곡선 $\displaystyle y=6x^2+ax+1$과 직선 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역을 $\displaystyle S$라 하자. 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac1n$인정사각형 1개의 넓이는 $\displaystyle \frac1{n^2}$이므로 $\displaystyle S$안에 있는 모든 정사각형들의 넓이의 합은 $\displaystyle s_n\times\frac1{n^2}$이다. 따라서 구분구적법의 원리에 의하여 $\displaystyle S$의 넓이는 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{s_n\times\frac1{n^2}\right\}$이다. 그런데

$\displaystyle (5n^2-6n+1)\times\frac1{n^2}\le s_n\times\frac1{n^2}\le(5n^2-5n+1)\times\frac1{n^2}$으로부터$\displaystyle (S\text{의 넓이})=\lim_{n\to\infty}\left\{s_n\times\frac1{n^2}\right\}=5$

를 얻는다. 따라서 $\displaystyle \int_0^1(6x^2+ax+1)\,dx=(S\text{의 넓이})=5$ 이므로 $\displaystyle a=4$를 얻는다.

점 $\displaystyle \mathrm Q_k$를 $\displaystyle (x_k,y_k)$라 하면, $\displaystyle y_k=x_k^2$이다.왼쪽 그림과 같이 정사각형 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1\mathrm R_1\mathrm S_1$에서$\displaystyle x_1=x_1^2$이고 $\displaystyle x_1^2=y_1$이므로 $\displaystyle x_1=y_1=1$이다.

오른쪽 그림에서 두 정사각형 $\displaystyle \mathrm P_{k-1}\mathrm Q_{k-1}\mathrm R_{k-1}\mathrm S_{k-1}$과$\displaystyle \mathrm P_k\mathrm Q_k\mathrm R_k\mathrm S_k$가 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표는$\displaystyle y_k-x_k=y_{k-1}+x_{k-1}$이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}x_k+x_{k-1}&=y_k-y_{k-1}\\&=x_k^2-x_{k-1}^2\\&=(x_k+x_{k-1})(x_k-x_{k-1})\end{aligned}$으로 부터 $\displaystyle \{x_k\}$는 $\displaystyle x_k-x_{k-1}=1$(공차가 $\displaystyle 1$이고 초항 $\displaystyle x_1=1$)인등차수열이다. 그러므로 $\displaystyle x_n=n$이고 $\displaystyle y_n=n^2$이다. 따라서

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{y_ny_{n+1}}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=1$이다.