자연계열 1번

도형의 넓이를 구할 때, 간단한 도형의 넓이의 합으로 근삿값을 구한 다음, 그 근삿값의 극한으로써주어진 도형의 넓이를 구하는 방법을 구분구적법이라고 한다. 좌표평면에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)\,(f(x)\ge0)$와 두 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역 $\displaystyle S$의 넓이를 구분구적법을 사용하여 구할 수 있다.이 개념을 음수의 함숫값을 갖는 함수까지 일반화한 것이 정적분이다. $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$의정적분을$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}I_k$,　여기서 $\displaystyle I_k=f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\frac{b-a}n$로 정의한다. 그러므로 $\displaystyle f(x)\ge0$일 때, 정적분은 직사각형의 넓이 $\displaystyle I_k$를 사용하여 구분구적법을 적용한 것이다.

(가) 곡선 $\displaystyle y=6x^2+ax+1\,(a>0)$과 두 직선 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=1$ 및$\displaystyle x$축으로 둘러싸인 영역 안에 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac1n$($\displaystyle n$은 자연수)인정사각형을 오른쪽 그림과 같이1. 모든 정사각형의 각 변이 $\displaystyle x$축 또는 $\displaystyle y$축에 평행하고2. 내부가 서로 겹치지 않도록 하여3. 가장 많이 넣었을 때,$\displaystyle s_n$개가 들어간다고 한다.

(나) 그림과 같이 $\displaystyle \mathrm P_1$을 원점, $\displaystyle \mathrm Q_1$과 $\displaystyle \mathrm S_1$을 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점, $\displaystyle \mathrm R_1$을$\displaystyle y$축 위의 점이고 이를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\displaystyle \mathrm P_1\mathrm Q_1\mathrm R_1\mathrm S_1$에대하여 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm P_1\mathrm R_1}$의 중점의 좌표를 $\displaystyle (0,y_1)$라 하자. 다시$\displaystyle \mathrm P_2=\mathrm R_1$이고 $\displaystyle \mathrm Q_2$과 $\displaystyle \mathrm S_2$를 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점, $\displaystyle \mathrm R_2$를 $\displaystyle y$축 위의점이고 이를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\displaystyle \mathrm P_2\mathrm Q_2\mathrm R_2\mathrm S_2$에 대하여선분 $\displaystyle \overline{\mathrm P_2\mathrm R_2}$의 중점의 좌표를 $\displaystyle (0,y_2)$라 하자. 이와 같은 과정을 $\displaystyle n$번 반복하여 생긴 $\displaystyle n$번째 정사각형 $\displaystyle \mathrm P_n\mathrm Q_n\mathrm R_n\mathrm S_n$에 대하여 $\displaystyle \overline{\mathrm P_n\mathrm R_n}$의 중점의 좌표를 $\displaystyle (0,y_n)$라 하자.