자연계열 2번

[논제 1]문제에서 함수 $\displaystyle f(x)$를 정의할 때, 삼각형의 밑변을 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 고정하면 삼각형의 넓이는 원위의 점과직선 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 사이의 거리(삼각형의 높이)에 의하여 결정된다. 따라서 원 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 위의 점과 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리를 고려하여 $\displaystyle f(x)$를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}4,&0\le x<\frac34\pi,\ x\ne\frac\pi4\\3,&x=\frac\pi4,\frac34\pi,\frac74\pi\\2,&\frac34\pi<x<\frac74\pi,\ x\ne\frac54\pi\\1,&x=\frac54\pi\\4,&\frac74\pi<x\le2\pi\end{cases}$따라서, 제시문 (가)에 의하여 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이 아닌 $\displaystyle x$는$\displaystyle x=\frac\pi4,\frac34\pi,\frac54\pi,\frac74\pi$

이다. 한편, $\displaystyle (0,2\pi)$에서 $\displaystyle f(x)=1,2,3,\text{또는 }4$이다. 함수 $\displaystyle g(x)=[pf(x)]$가 구간 $\displaystyle (0,2\pi)$에서 연속이기 때문에 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle (0,2\pi)$에서 상수함수이므로$\displaystyle g(x)=[p]=[2p]=[3p]=[4p]$이다. $\displaystyle [p]=n$($\displaystyle n$는 음이 아닌 정수)라 하면, $\displaystyle n\le p<n+1$이고, $\displaystyle 2n\le2p<2n+2$이다.그러므로 $\displaystyle [2p]=2n,2n+1$이고 $\displaystyle [p]=[2p]$에서 $\displaystyle n=2n$이므로 $\displaystyle n=0$이다.따라서 $\displaystyle 0<p<1$이고, $\displaystyle [p]=[2p]=[3p]=[4p]$에서 $\displaystyle 0<p<\frac14$이다.

[논제 2](1) 구간 $\displaystyle \left(\frac\pi2,\pi\right)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속이 아닌 점은 $\displaystyle x_0=\frac34\pi$이다. $\displaystyle k(x)$가 $\displaystyle x=\frac34\pi$에서 연속이므로먼저 제시문의 조건 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)을 만족해야 한다. 먼저 $\displaystyle h(x)$는 다항함수이므로 우극한과 좌극한을구하면 다음과 같다.(ⅰ) $\displaystyle \lim_{x\to\frac34\pi+0}k(x)=\lim_{x\to\frac34\pi+0}2h(x)=2h\left(\frac34\pi\right),$$\displaystyle \lim_{x\to\frac34\pi-0}k(x)=\lim_{x\to\frac34\pi-0}4h(x)=4h\left(\frac34\pi\right)$제시문 (가)의 (ⅲ)에 의하여$\displaystyle h\left(\frac34\pi\right)=0$이다.

(2) 함수 $\displaystyle \frac{k(x)-k(\frac34\pi)}{x-\frac34\pi}$의 우극한과 좌극한을 구하면 다음과 같다.우극한 : $\displaystyle \lim_{x\to\frac34\pi+0}\frac{k(x)-k(\frac34\pi)}{x-\frac34\pi}=\lim_{x\to\frac34\pi+0}\frac{2h(x)}{x-\frac34\pi}=2h^{\prime}\left(\frac34\pi\right),$좌극한 : $\displaystyle \lim_{x\to\frac34\pi-0}\frac{k(x)-k(\frac34\pi)}{x-\frac34\pi}=\lim_{x\to\frac34\pi-0}\frac{4h(x)}{x-\frac34\pi}=4h^{\prime}\left(\frac34\pi\right)$제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle 2h^{\prime}\left(\frac34\pi\right)=4h^{\prime}\left(\frac34\pi\right)$이므로$\displaystyle h^{\prime}\left(\frac34\pi\right)=0$

이다. $\displaystyle h(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차함수, $\displaystyle h\left(\frac34\pi\right)=0$, $\displaystyle h^{\prime}\left(\frac34\pi\right)=0$이므로$\displaystyle h(x)=\left(x-\frac34\pi\right)^2$이다.