자연계열 1번

[논제1] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}+2\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1})$ 이고$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm C_1}+2\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm A_1})=\frac15\{3(\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}-\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1})-2\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}\}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}+\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}=-\frac25\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}+\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=-\frac25$, $\displaystyle b=1$이다.

[논제2] 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이를 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$로 나타내자.그림으로부터$\displaystyle \begin{aligned}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}&=\frac12\overline{\mathrm A_n\mathrm B_{n+1}}\cdot\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}\sin\angle\mathrm A_n\\&=\frac12\left(\frac35\overline{\mathrm A_n\mathrm C_n}\right)\left(\frac25\overline{\mathrm A_n\mathrm B_n}\right)\sin\angle\mathrm A_n\\&=\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n\end{aligned}$이다. 같은 방법으로$\displaystyle \triangle\mathrm B_n\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}=\triangle\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}\mathrm A_{n+1}=\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$임을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle \triangle\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}=\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n-3\times\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n=\frac7{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$

이므로$\displaystyle \triangle\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3=\frac7{25}\triangle\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2=\left(\frac7{25}\right)^2\triangle\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1=49$이다.

[논제3] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_n}=(p_n,q_n)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_n}=(r_n,s_n)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}_n}=(t_n,u_n)$이라 하면 주어진 조건 ②에 의하여 다음이성립한다.$\displaystyle p_n+r_n+t_n=p_{n+1}+r_{n+1}+t_{n+1}$$\displaystyle q_n+s_n+u_n=q_{n+1}+s_{n+1}+u_{n+1}$따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$의 무게중심과 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$의 무게중심은 동일하다.조건으로부터 $\displaystyle n\to\infty$일 때, 선분의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm P}$, $\displaystyle \overline{\mathrm B_n\mathrm P}$, $\displaystyle \overline{\mathrm C_n\mathrm P}$가 모두 $\displaystyle 0$으로 수렴하므로 점 $\displaystyle \mathrm P$의 좌표를$\displaystyle (\alpha,\beta)$라 하면,$\displaystyle p_n\to\alpha,\ r_n\to\alpha,\ t_n\to\alpha,\ q_n\to\beta,\ s_n\to\beta,\ u_n\to\beta$이다. 따라서$\displaystyle \frac{p_1+r_1+t_1}3=\frac{p_n+r_n+t_n}3\longrightarrow\alpha$$\displaystyle \frac{q_1+s_1+u_1}3=\frac{q_n+s_n+u_n}3\longrightarrow\beta$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{p_1+r_1+t_1}3$, $\displaystyle \beta=\frac{q_1+s_1+u_1}3$이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm P$는 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$의 무게중심이고 삼각형 $\displaystyle \mathrm P\mathrm A_1\mathrm B_1$의 넓이는 $\displaystyle \frac{625}3$이다.