자연계열 1번

단국대 2017학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2017mo/jayeon_1

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (40점)

(가) 평면에서 한 점 $\displaystyle \mathrm O$ 를 고정하면 임의의 벡터 $\displaystyle \vec p$ 에 대하여 $\displaystyle \vec p=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 인 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 위치가 하나로 정해진다. 역으로 임의의 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에 대하여 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vec p$ 인 벡터 $\displaystyle \vec p$ 가 하나로 정해진다. 이와 같이 좌표평면에서 점 $\displaystyle \mathrm O$ 를 시점으로 하는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}$ 를 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에 대한 위치벡터라고 한다.

(나) 좌표평면 위의 두 점 $\displaystyle \mathrm A$ , $\displaystyle \mathrm B$ 에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 를 $\displaystyle m:n\,(m>0,n>0)$ 으로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm Q$ 라 하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{m\overrightarrow{\mathrm{OB}}+n\overrightarrow{\mathrm{OA}}}{m+n}$ 이다.

자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm A_n$ , $\displaystyle \mathrm B_n$ , $\displaystyle \mathrm C_n$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

① 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 의 넓이는 $\displaystyle 625$ 이다.② $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_{n+1}}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}+2\overrightarrow{\mathrm{OC}_n})$ $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_{n+1}}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}+2\overrightarrow{\mathrm{OA}_n})$ $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}_n})$

[논제 1] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}+\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}=a\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}+b\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}$ 을 만족시키는 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 의 값을 구하시오. (10점)

[논제 2] 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3$ 의 넓이를 구하시오. (10점)

[논제 3] 다음 조건을 만족시키는 점 $\displaystyle \mathrm P$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm P\mathrm A_1\mathrm B_1$ 의 넓이를 구하시오. (20점)

$\displaystyle n\to\infty$ 일 때, 선분의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm P}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm B_n\mathrm P}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm C_n\mathrm P}$ 가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 수렴한다.

해설강의 준비중

단국대 2017학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2017mo/jayeon_1

점 $\displaystyle \mathrm A_n$ , $\displaystyle \mathrm B_n$ , $\displaystyle \mathrm C_n$ 의 정의로부터 점 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm B_n\mathrm C_n$ 을 $\displaystyle 2:3$ 으로 내분하는 점, 점 $\displaystyle \mathrm B_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm C_n\mathrm A_n$ 을 $\displaystyle 2:3$ 으로 내분하는 점, 점 $\displaystyle \mathrm C_{n+1}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n$ 을 $\displaystyle 2:3$ 으로 내분하는 점임을 알 수 있다.

+5점 ·

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}

와

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}

를

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}

과

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}

으로 표현된 식을 제시

[논제1] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}+2\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1})$ 이고 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}=\frac15(3\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm C_1}+2\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm A_1})=\frac15\{3(\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}-\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1})-2\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}\}$ 이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm A_2}+\overrightarrow{\mathrm B_1\mathrm B_2}=-\frac25\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm B_1}+\overrightarrow{\mathrm A_1\mathrm C_1}$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle a=-\frac25

\displaystyle b=1

을 제시

따라서 $\displaystyle a=-\frac25$ , $\displaystyle b=1$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \triangle\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}=\frac7{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n

임을 제시

[논제2] 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$ 의 넓이를 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$ 로 나타내자.그림으로부터 $\displaystyle \begin{aligned}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}&=\frac12\overline{\mathrm A_n\mathrm B_{n+1}}\cdot\overline{\mathrm A_n\mathrm C_{n+1}}\sin\angle\mathrm A_n\\&=\frac12\left(\frac35\overline{\mathrm A_n\mathrm C_n}\right)\left(\frac25\overline{\mathrm A_n\mathrm B_n}\right)\sin\angle\mathrm A_n\\&=\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n\end{aligned}$ 이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \triangle\mathrm B_n\mathrm C_{n+1}\mathrm A_{n+1}=\triangle\mathrm C_n\mathrm B_{n+1}\mathrm A_{n+1}=\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \triangle\mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}=\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n-3\times\frac6{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n=\frac7{25}\triangle\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$

+5점 ·

\displaystyle \triangle\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3=49

임을 제시

이므로 $\displaystyle \triangle\mathrm A_3\mathrm B_3\mathrm C_3=\frac7{25}\triangle\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2=\left(\frac7{25}\right)^2\triangle\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1=49$ 이다.

+15점 · 점

\displaystyle \mathrm P

가 삼각형

\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1

의 무게중심임을 설명하거나 점

\displaystyle \mathrm P

의 좌표를 제시

[논제3] $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}_n}=(p_n,q_n)$ , $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}_n}=(r_n,s_n)$ , $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}_n}=(t_n,u_n)$ 이라 하면 주어진 조건 ②에 의하여 다음이성립한다. $\displaystyle p_n+r_n+t_n=p_{n+1}+r_{n+1}+t_{n+1}$ $\displaystyle q_n+s_n+u_n=q_{n+1}+s_{n+1}+u_{n+1}$ 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 무게중심과 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$ 의 무게중심은 동일하다.조건으로부터 $\displaystyle n\to\infty$ 일 때, 선분의 길이 $\displaystyle \overline{\mathrm A_n\mathrm P}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm B_n\mathrm P}$ , $\displaystyle \overline{\mathrm C_n\mathrm P}$ 가 모두 $\displaystyle 0$ 으로 수렴하므로 점 $\displaystyle \mathrm P$ 의 좌표를 $\displaystyle (\alpha,\beta)$ 라 하면, $\displaystyle p_n\to\alpha,\ r_n\to\alpha,\ t_n\to\alpha,\ q_n\to\beta,\ s_n\to\beta,\ u_n\to\beta$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{p_1+r_1+t_1}3=\frac{p_n+r_n+t_n}3\longrightarrow\alpha$ $\displaystyle \frac{q_1+s_1+u_1}3=\frac{q_n+s_n+u_n}3\longrightarrow\beta$ 이므로 $\displaystyle \alpha=\frac{p_1+r_1+t_1}3$ , $\displaystyle \beta=\frac{q_1+s_1+u_1}3$ 이다. 그러므로 점 $\displaystyle \mathrm P$ 는 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 의 무게중심이고

+5점 ·

\displaystyle \triangle\mathrm P\mathrm A_1\mathrm B_1=\frac{625}3

임을 제시

삼각형 $\displaystyle \mathrm P\mathrm A_1\mathrm B_1$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{625}3$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.