자연계열 2번

[논제1] 함수 $\displaystyle H(x)$의 극값은 $\displaystyle H^{\prime}(x)=f(g(x))g^{\prime}(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$에서 갖는다.$\displaystyle f(g(x))=0$으로부터 $\displaystyle g(x)=4$, 즉 $\displaystyle x=5$이다. 또한 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$으로부터 $\displaystyle x=1$이다.따라서 $\displaystyle H(x)$의 극값은 $\displaystyle x=1$ 또는 $\displaystyle x=5$에서만 가질 수 있다.

(ⅰ) $\displaystyle x=1$$\displaystyle x$가 증가하면서 $\displaystyle x=1$을 지날 때$\displaystyle f(g(x))$의 부호는 계속 양이고,$\displaystyle g^{\prime}(x)$의 부호는 음에서 양으로 변한다.따라서 $\displaystyle H^{\prime}(x)$의 부호는 음에서 양으로 변하므로 $\displaystyle H(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 극솟값을 갖는다.

(ⅱ) $\displaystyle x=5$$\displaystyle x$가 증가하면서 $\displaystyle x=5$를 지날 때$\displaystyle f(g(x))$의 부호는 양에서 음으로 변하고,$\displaystyle g^{\prime}(x)$의 부호는 계속 양이다.따라서 $\displaystyle H^{\prime}(x)$의 부호는 양에서 음으로 변하므로 $\displaystyle H(x)$는 $\displaystyle x=5$에서 극댓값을 갖는다.

조건으로부터 $\displaystyle H(1)=\int_a^{g(1)}f(t)\,dt=0$이므로 $\displaystyle a=g(1)=2$이다. 즉 $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=5$이다.

[논제2] $\displaystyle 0\le t\le1$일 때 $\displaystyle 1-x\le e^t-x\le e-x$ 이므로(ⅰ) $\displaystyle x<1$,　(ⅱ) $\displaystyle 1\le x<e$,　(ⅲ) $\displaystyle e\le x$의 3가지 경우로 나누어 생각한다.

(ⅰ) $\displaystyle x<1$인 경우$\displaystyle e^t>x$ 이므로 $\displaystyle A(x)=\int_0^1(e^t-x)\,dt=-x+e-1$ 이다.

(ⅱ) $\displaystyle 1\le x<e$인 경우$\displaystyle e^t=x$로부터 $\displaystyle t=\ln x$를 얻는다.$\displaystyle 0\le t<\ln x$일 때 $\displaystyle e^t\le x$ 이고, $\displaystyle \ln x\le t<1$일 때, $\displaystyle e^t\ge x$이므로$\displaystyle \begin{aligned}A(x)&=\int_0^{\ln x}(x-e^t)\,dt+\int_{\ln x}^1(e^t-x)\,dt\\&=2x\ln x-3x+e+1\end{aligned}$이다.

(ⅲ) $\displaystyle e\le x$인 경우$\displaystyle e^t\le x$ 이므로 $\displaystyle A(x)=\int_0^1(x-e^t)\,dt=x-e+1$ 이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터$\displaystyle A(x)=\int_0^1|e^t-x|\,dt=\begin{cases}-x+e-1&(x<1)\\2x\ln x-3x+e+1&(1\le x<e)\\x+1-e&(x\ge e)\end{cases}$이다.

이제 $\displaystyle A(x)$의 그래프를 그리자.① $\displaystyle A(x)$의 정의역모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle A(x)$가 존재하므로 함수 $\displaystyle A(x)$의 정의역은 실수집합이다.

② 그래프의 증가와 감소, 극댓값과 극솟값$\displaystyle x\le1$에서 $\displaystyle A(x)$는 감소하는 일차함수이고 $\displaystyle A(1)=e-2$이다.$\displaystyle x\ge e$에서 $\displaystyle A(x)$는 증가하는 일차함수이고 $\displaystyle A(e)=1$이다.$\displaystyle 1<x<e$에서 $\displaystyle A^{\prime}(x)=2\ln x-1$이다. $\displaystyle A^{\prime}(x)=0$으로부터$\displaystyle A(x)$는 $\displaystyle x=\sqrt e$에서 극값 $\displaystyle e-2\sqrt e+1$을 갖는다.

③ 그래프의 볼록 방향과 변곡점$\displaystyle 1<x<e$에서 $\displaystyle A^{\prime\prime}(x)=\frac2x>0$ 이므로 이 구간에서 아래로 볼록하다. 따라서$\displaystyle A(\sqrt e)=e-2\sqrt e+1$은 극솟값이다.

④ $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축의 교점, 대칭성과 주기(ⅰ) $\displaystyle x<1$에서는 $\displaystyle x$절편은 없고, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle y=e-1$(ⅱ) $\displaystyle x\ge e$에서는 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ 축과 만나지 않는다.(ⅲ) $\displaystyle 1\le x<e$에서는 아래로 볼록하고 극솟값이 $\displaystyle A(\sqrt e)=e-2\sqrt e+1=(\sqrt e-1)^2>0$ 이므로$\displaystyle x$축과 만나지 않는다.

⑤ $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}A(x)=\lim_{x\to\infty}A(x)=\infty$이다.따라서 $\displaystyle A(x)$의 최솟값은 $\displaystyle e-2\sqrt e+1$이고, $\displaystyle y=A(x)$의 그래프는 아래와 같다.

[논제3] $\displaystyle x-t=s$로 치환하면 치환적분법으로부터$\displaystyle F(x)=\int_0^x\frac{e^{x+t}}{f(x-t)}\,dt=-\int_x^0\frac{e^{2x-s}}{f(s)}\,ds=\int_0^x\frac{e^{2x-s}}{f(s)}\,ds=e^{2x}\int_0^x\frac{e^{-s}}{f(s)}\,ds$이 성립한다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}F^{\prime}(x)&=2e^{2x}\int_0^x\frac{e^{-s}}{f(s)}\,ds+e^{2x}\frac{e^{-x}}{f(x)}\\&=2F(x)+\frac{e^x}{f(x)}\qquad\cdots\cdots\quad(*)\end{aligned}$

이다. 한편 $\displaystyle F(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 극값 $\displaystyle -2$를 가지므로 $\displaystyle F^{\prime}(1)=0$, $\displaystyle F(1)=-2$가 되어, (*)로 부터$\displaystyle 0=2(-2)+\frac e{f(1)}$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle f(1)=\frac e4$이다.Comment. 연속이고 $\displaystyle 0$이 아닌 $\displaystyle f$는 구간에서 부호가 일정하다. $\displaystyle x>0$에서 $\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle \frac{e^x}{f(x)}$의 부호가 같으므로 $\displaystyle F^{\prime}(x)=2F(x)+\frac{e^x}{f(x)}\ne0$이다. 따라서 $\displaystyle F$가 $\displaystyle x=1$에서 극값을 갖는다는 조건과 모순된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.