자연계열 1번

[논제1] 두 점 사이의 거리 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2$과 같은 증가 감소의 경향을 보이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2$의 극댓값을 찾는다.$\displaystyle \begin{aligned}\overline{\mathrm{PQ}}^2&=(\sqrt2\cos t-\sqrt2\cos2t)^2+(\sin t-\sin2t)^2\\&=(\cos^2t+\cos^22t)-2(2\cos t\cos2t+\sin t\sin2t)+2\end{aligned}$이고, $\displaystyle \cos2t=2\cos^2t-1$, $\displaystyle \sin2t=2\sin t\cos t$를 대입하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=\{\cos^2t+(2\cos^2t-1)^2\}-2\{2\cos t(2\cos^2t-1)+\sin t(2\sin t\cos t)\}+2$이다. $\displaystyle u=\cos t$로 치환하면 $\displaystyle 0<t<\pi$로부터 $\displaystyle -1<u<1$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}^2=4u^4-4u^3-3u^2+3$

을 얻는다. 따라서 $\displaystyle F(u)=4u^4-4u^3-3u^2+3$라 하면$\displaystyle \frac d{du}F(u)=16u^3-12u^2-6u=0$이려면 $\displaystyle u=0$ 또는 $\displaystyle u=\frac{3\pm\sqrt{33}}8$이어야 한다. $\displaystyle -1<u<1$이므로 $\displaystyle u=\cos t=0,\frac{3-\sqrt{33}}8$을 얻는다.$\displaystyle \cos t_0=\frac{3-\sqrt{33}}8$, ($\displaystyle 0<t_0<\pi$)이라 하면 함수 $\displaystyle y=\cos t$는 구간 $\displaystyle (0,\pi)$에서 감소함수이고 삼차함수$\displaystyle F(u)$의 증감은 다음과 같다.Correction. 삼차함수는 사차함수의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 <제시문> (나)에 의하여 함수 $\displaystyle f(t)^2=F(\cos t)$의 증감은 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle t=\frac\pi2$일 때 함수 $\displaystyle f(t)$는 극대이다. 답: $\displaystyle t=\frac\pi2$

[논제2] 주어진 포물선 $\displaystyle 8(x+2)=y^2$의 초점은 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$이고 준선은$\displaystyle x=-4$이다. 따라서 포물선의 정의에 의하여, 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$사이의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle \begin{aligned}d&=\overline{\mathrm{OC}}+(\text{원의 반지름의 길이})\\&=(\mathrm{C}\text{에서 직선 }x=-4\text{까지의 거리})+(\text{원의 반지름의 길이})\\&=(\mathrm{C}\text{에서 직선 }x=-4\text{까지의 거리})+(\mathrm{C}\text{에서 직선 }x=0\text{까지의 거리})\\&=4\end{aligned}$이므로 $\displaystyle A$에 속하는 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$는$\displaystyle a^2+b^2=16,\;(-4<a<0,0<b<4)$를 만족시킨다.

또한 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DB}}=(-4-a,-b)$, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{DO}}=(-a,-b)$이므로$\displaystyle 8=\overrightarrow{\mathrm{DB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DO}}=a(a+4)+b^2$을 만족시키려면 $\displaystyle a=-2$, $\displaystyle b^2=12$이어야 한다. 그러므로 구하는 2사분면의 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 좌표는 $\displaystyle (-2,2\sqrt3)$이다. 답: $\displaystyle \mathrm{D}(-2,2\sqrt3)$

[논제3] 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{D}(a,b)$를 지나고 타원 $\displaystyle \frac{x^2}2+y^2=1$에 접하는 직선의 기울기를 $\displaystyle k$라 하자. <제시문> (가)에 의해서 직선의 방정식은 $\displaystyle y=kx\pm\sqrt{2k^2+1}$이므로$\displaystyle b=ka\pm\sqrt{2k^2+1}$에서$\displaystyle (a^2-2)k^2-2abk+b^2-1=0$이다. 이 방정식의 두 해를 $\displaystyle k_1,k_2$라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터$\displaystyle k_1+k_2=\frac{2ab}{a^2-2},\;k_1k_2=\frac{b^2-1}{a^2-2}$ …… ①

이다. 한편, 기울기가 $\displaystyle k_1$인 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$, 기울기가 $\displaystyle k_2$인 직선이 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \beta$라 하면, $\displaystyle k_1=\tan\alpha$이고 $\displaystyle k_2=\tan\beta$이다. 두 직선이 이루는 각의 크기가 $\displaystyle 45^\circ$이므로$\displaystyle 1=|\tan(\alpha-\beta)|=\left|\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\right|=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|$ …… ②

이다. 식 ①을 ②에 대입하면 $\displaystyle a^2+b^2=9$이므로 $\displaystyle b^2=2$이다. 점 $\displaystyle (a,b)$는 제2사분면 위에 있으므로,$\displaystyle b=\sqrt2,a=-\sqrt7$이다. 답: $\displaystyle \mathrm{D}(-\sqrt7,\sqrt2)$