자연계열 2번

[논제1] $\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\log a_i=k$ ($\displaystyle k$는 자연수)라 하자. 로그의 성질에 의하여$\displaystyle \sum_{i=1}^{10}\log a_i=\log a_1a_2a_3\cdots a_{10}$이므로$\displaystyle a_1a_2a_3\cdots a_{10}=2^k\cdot5^k$ ……………… ①이다. 따라서 ①의 식이 성립하기 위해서 $\displaystyle a_i$는 $\displaystyle 1,2$, $\displaystyle 4$ 또는 $\displaystyle 5$이다.

$\displaystyle a_i$가 $\displaystyle 2$인 $\displaystyle a_i$의 개수를 $\displaystyle s$, $\displaystyle a_i$가 $\displaystyle 4$인 $\displaystyle a_i$의 개수를 $\displaystyle t$, $\displaystyle a_i$가 $\displaystyle 5$인 $\displaystyle a_i$의 개수를 $\displaystyle k$라 하면$\displaystyle 2^s\cdot4^t\cdot5^k=2^k\cdot5^k$이므로$\displaystyle s+2t=k,\;s+t\le10-k,$이다. $\displaystyle s\ge0$, $\displaystyle t\ge0$, $\displaystyle k\ge0$이므로 $\displaystyle s$를 소거한 부등식$\displaystyle t\ge0,\;k\ge0,\;k-2t\ge0,\;10-k-t\ge0,\;t\ge2k-10$을 만족시키는 영역을 $\displaystyle k-t$평면에 나타내면 아래의 색칠한 부분이다.

따라서 조건을 만족시키는 $\displaystyle (k,t)$의 개수는 $\displaystyle 13$이고, $\displaystyle s+2t=k$이므로 $\displaystyle s$는 각 $\displaystyle (k,t)$에 의하여 유일하게결정된다. 구하는 경우의 수는 13이다. 답: $\displaystyle 13$Comment. 대학 답안의 $\displaystyle 13$은 각 눈의 출현 횟수만 구분하여 센 값이다. 주사위별 결과까지 구분하여 세면 $\displaystyle 44802$가지이다. 문제에는 주사위를 서로 구별한다는 조건이 명시되어 있지 않으므로 두 경우를 구분하여 읽어야 한다.

[논제2] 그림 (B)의 색칠한 부분의 넓이는 (A)의 색칠한부분의 넓이의 $\displaystyle \frac34$이다. 따라서 네 점$\displaystyle (x_{k-1},0),(x_k,0),(x_{k-1},f(x_{k-1})),(x_k,f(x_{k-1}))$을 꼭짓점으로 하는 직사각형의 넓이를 $\displaystyle c_k$라 하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nc_k=\int_0^1f(x)\,dx$이므로$\displaystyle \lim_{m\to\infty}\sum_{i=1}^{2m}b_i=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m\frac34c_k=\frac34\int_0^1\cos\sqrt x\,dx$이다.

한편, $\displaystyle \sqrt x=y$로 치환하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1\cos\sqrt x\,dx&=\int_0^12y\cos y\,dy\\&=\Biggl[2y\sin y\Biggr]_0^1-\int_0^12\sin y\,dy=2\sin1+2(\cos1-1)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \lim_{m\to\infty}\sum_{i=1}^{2m}b_i=\frac32(\sin1+\cos1-1)$이다. 답: $\displaystyle \frac32(\sin1+\cos1-1)$

[논제3] (1)의 식에서 $\displaystyle x\sqrt t=s$로 치환하면 $\displaystyle \sqrt t=\frac sx$, $\displaystyle \frac1{2\sqrt t}dt=\frac1xds$이므로$\displaystyle \int_0^1\sqrt t f(x\sqrt t)\,dt=\int_0^x\frac sx f(s)\frac{2s}{x^2}\,ds=\frac23e^{g(x)}$이고 정리하면$\displaystyle \int_0^xs^2f(s)\,ds=\frac{x^3}3e^{g(x)}$이다. 양변을 $\displaystyle x$에 관하여 미분하여 정리하면$\displaystyle f(x)=e^{g(x)}+\frac x3e^{g(x)}g^{\prime}(x)$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$에 $\displaystyle x=3$을 대입하면 다음과 같다.$\displaystyle f(3)+f(-3)=[e^{g(3)}+e^{g(-3)}]+[e^{g(3)}g^{\prime}(3)-e^{g(-3)}g^{\prime}(-3)]$ ……… ①

$\displaystyle H(x)=\ln\left|\frac{h(-x)}{h(x)}\right|$라 하고, (2)로부터 위와 같은 치환적분법을 사용하면$\displaystyle \int_0^xsg(s)\,ds=\frac{x^2}2H(x)+\frac12x^{2+f(0)}$이다. 양변을 $\displaystyle x$에 관하여 미분하여 정리하면$\displaystyle g(x)=H(x)+\frac x2H^{\prime}(x)+\frac{2+f(0)}2x^{f(0)}$

이다. (1)의 식에 $\displaystyle x=0$을 대입하면$\displaystyle \int_0^1\sqrt t f(0)\,dt=f(0)\int_0^1\sqrt t\,dt=\frac23e^{g(0)}$에서 $\displaystyle f(0)=e^{g(0)}$이므로 $\displaystyle f(0)\ne0$이다. 또한 (2)의 식에 $\displaystyle x=0$을 대입하면$\displaystyle \int_0^1g(0)\,dt=g(0)\int_0^1dt=0$이므로 $\displaystyle g(0)=0$이고 $\displaystyle f(0)=1$이다. 따라서$\displaystyle g(x)=H(x)+\frac x2H^{\prime}(x)+\frac32x$이고 $\displaystyle g(-x)=H(-x)-\frac x2H^{\prime}(-x)-\frac32x$이다. 한편$\displaystyle H(-x)=\ln\left|\frac{h(x)}{h(-x)}\right|=\ln\left|\frac{h(-x)}{h(x)}\right|^{-1}=-\ln\left|\frac{h(-x)}{h(x)}\right|=-H(x)$이고, 합성함수의 미분법에 의하여$\displaystyle H^{\prime}(-x)=H^{\prime}(x)$이다. 그러므로$\displaystyle g(-x)=-H(x)-\frac x2H^{\prime}(x)-\frac32x=-g(x)$이므로, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g(x)=-g(-x)$이고, 또한 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle g^{\prime}(x)=g^{\prime}(-x)$

이므로 $\displaystyle g^{\prime}(3)=g^{\prime}(-3)=0$이다. 식 ①로부터 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여$\displaystyle f(3)+f(-3)=e^{g(3)}+e^{-g(3)}\ge2\sqrt{e^{g(3)}\frac1{e^{g(3)}}}=2$이므로 구하는 최솟값은 $\displaystyle 2$이다. 답: $\displaystyle 2$[참고] $\displaystyle f(x)=1,g(x)=0,h(x)=e^{\frac x2}$은 조건 (1), (2), (3)을 만족시킨다.