자연계열 1번

[논제 1] 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}(g\circ f)(n+1)&=g(f(n)f(1))\\&=(g\circ f)(n)+(g\circ f)(1)\\&=(g\circ f)(n)+2\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \{(g\circ f)(n)\}$은 첫째항이 $\displaystyle (g\circ f)(1)=2$이고 공차가 $\displaystyle 2$인 등차수열이다. 따라서

$\displaystyle 1470=\sum_{k=1}^{30}(g\circ f)(a+k)=\sum_{k=1}^{30}(2a+2k)=60a+2\sum_{k=1}^{30}k=60a+930$이므로 $\displaystyle a=9$이다. 답 : $\displaystyle a=9$

[논제 2] 함수 $\displaystyle f$의 도함수는$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^x(a+\sin x)-e^x\cos x}{(a+\sin x)^2}=\frac{e^x\{a-(\cos x-\sin x)\}}{(a+\sin x)^2}$ …… (*)이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서$\displaystyle a-(\cos x-\sin x)=0$ …… (**)을 얻는다. 한편 $\displaystyle \cos x-\sin x=\sqrt2\cos\left(x+\frac\pi4\right)$이고 (*)과 $\displaystyle a-(\cos x-\sin x)$의 부호는 같다. 따라서 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle a-\sqrt2\cos\left(x+\frac\pi4\right)$의 부호를 조사하면 $\displaystyle f(x)$가 극댓값과 극솟값을모두 가질 $\displaystyle a$의 조건은 $\displaystyle 1<a<\sqrt2$

이고 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 관계는 $\displaystyle \frac{3\pi}2<\alpha<\beta<2\pi$임을 알 수 있다(그림 참조).

한편 (**)식의 양변을 제곱하여 정리하면$\displaystyle 2\sin^2x+2a\sin x+(a^2-1)=0$이므로 $\displaystyle \sin x=\frac{-a\pm\sqrt{2-a^2}}2$이고, 구간 $\displaystyle \left(\frac{3\pi}2,2\pi\right)$에서 $\displaystyle \sin x$는 증가함수이므로$\displaystyle \sin\alpha=\frac{-a-\sqrt{2-a^2}}2,\quad\sin\beta=\frac{-a+\sqrt{2-a^2}}2$이어야 한다. 답 : $\displaystyle 1<a<\sqrt2$, $\displaystyle \sin\alpha=\frac{-a-\sqrt{2-a^2}}2,\sin\beta=\frac{-a+\sqrt{2-a^2}}2$

[논제 3] 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$를 지나는 직선이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이를 이등분하려면 이 직선은 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의중점을 지나야 한다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{C}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중점이다. 점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하면 $\displaystyle x=\frac{3t}2,y=\frac{f(t)}2$이므로구하는 곡선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac12f\left(\frac23x\right)$이다, 따라서$\displaystyle g(x)=\frac12f\left(\frac23x\right)$

이다. 이제, 문제에 주어진 적분을 구하기 위해서 $\displaystyle \frac23G^{-1}(x)=t$라 치환하면$\displaystyle G^{\prime}(x)=g(x)=\frac12f\left(\frac23x\right)$이므로 $\displaystyle x=G\left(\frac32t\right)$이고 $\displaystyle dx=\frac32G^{\prime}\left(\frac32t\right)dt=\frac34f(t)dt$이다. 따라서$\displaystyle \int_0^{G(1)}\sin\left(\frac23G^{-1}(x)\right)\,dx=\frac34\int_0^{2/3}(\sin t)f(t)\,dt=\frac34\int_0^{2/3}\sin t\frac{e^t}{a+\sin t}\,dt$이므로$\displaystyle aG(1)+\int_0^{G(1)}\sin\left(\frac23G^{-1}(x)\right)\,dx=aG(1)+\frac34\int_0^{2/3}\left[(a+\sin t)\frac{e^t}{a+\sin t}-a\frac{e^t}{a+\sin t}\right]\,dt$이다. 그런데$\displaystyle \frac34\int_0^{2/3}\left[\frac{e^t}{a+\sin t}\right]\,dt=\frac34\int_0^{2/3}f(t)\,dt=\int_0^1\frac12f\left(\frac23u\right)\,du=G(1)$

이므로$\displaystyle \begin{aligned}aG(1)+\int_0^{G(1)}\sin\left(\frac23G^{-1}(x)\right)\,dx&=aG(1)+\frac34\int_0^{2/3}e^t\,dt-aG(1)\\&=\frac34(e^{\frac23}-1)\end{aligned}$이다. 답 : $\displaystyle \frac34(e^{\frac23}-1)$