자연계열 2번

단국대 2019학년도 모의논술 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2019mo/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 벡터의 덧셈 $\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ , $\displaystyle \vec b=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ 일 때, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 를두 벡터 $\displaystyle \vec a,\vec b$ 의 합이라 하고,기호 $\displaystyle \vec a+\vec b=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 로 나타낸다.

(나) 세 벡터 $\displaystyle \vec a$ , $\displaystyle \vec b$ , $\displaystyle \vec c$ 와 실수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$ (교환법칙) $\displaystyle \vec a\cdot(\vec b+\vec c)=\vec a\cdot\vec b+\vec a\cdot\vec c$ (분배법칙) $\displaystyle (k\vec a)\cdot\vec b=\vec a\cdot(k\vec b)=k(\vec a\cdot\vec b)$ (결합법칙)이 성립한다.

아래 그림과 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2,\overline{\mathrm{AD}}=8$ 인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 변 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 의 중점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$ 를 지름으로 하는 반원 $\displaystyle O_1$ 과 선분 $\displaystyle \mathrm{ED}$ 를 지름으로 하는 반원 $\displaystyle O_2$ 가 있다.반원 $\displaystyle O_1$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 에 대하여, $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 평행인 직선이 반원 $\displaystyle O_2$ 와 만나는 점 중 $\displaystyle \mathrm{P}_1$ 로부터의 거리가 $\displaystyle 4$ 인 점을 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 라 하자.선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 에 대하여, $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 와 수직인 직선이 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 와 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_2$ 라 하자.

다음 [논제 1]과 [논제 2]의 물음에 답하시오.

[논제 1] $\displaystyle \angle\mathrm{P}_1\mathrm{AD}=30^\circ$ 이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}_1}=1$ 일 때, $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2$ 의 값을 구하시오. [20점]

[논제 2] 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}$ 의 최솟값과 최댓값을 구하시오. [25점]

해설강의 준비중

단국대 2019학년도 모의논술 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2019mo/jayeon_2

+10점 ·

\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2

를 분석하여 계산이 가능하도록 변형함 (예:

\displaystyle 4\{(\overline{\mathrm{MP}_2^{\prime}})^2+(\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_2^{\prime}})^2\}

)

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 을 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 방향으로 $\displaystyle 4$ 만큼 이동시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}$ 이라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}\mathrm{Q}_2$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{M}$ 을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 와 평행인 직선에 내린 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 의 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{P}_2^{\prime}$ 이라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2&=|\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_1^{\prime}}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2\\&=|2\overrightarrow{\mathrm{P_2M}}|^2\\&=4\{(\overline{\mathrm{MP}_2^{\prime}})^2+(\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_2^{\prime}})^2\}\\&=80+8\sqrt3\end{aligned}$ 이다(그림 참조).

+10점 · 답

\displaystyle 80+8\sqrt3

을 제시

답 : $\displaystyle 80+8\sqrt3$

(별해) 점 $\displaystyle \mathrm{B}$ 를 원점으로 하는 좌표평면을 생각하면 $\displaystyle \mathrm{P}_1(3,2+\sqrt3),\;\mathrm{P}_2(7,2+\sqrt3),\;\mathrm{Q}_1(1,2),\;\mathrm{Q}_2(1,0)$ 이므로 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}=(-2,-\sqrt3),\quad\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}=(-6,-2-\sqrt3)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}=(-8,-2-2\sqrt3)$ 이고 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2=64+4(4+2\sqrt3)=80+8\sqrt3$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}

를 분석하여 계산이 가능하도록 변형함 (예:

\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2-5

)

[논제 2] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 을 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 방향으로 $\displaystyle 4$ 만큼 이동시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}$ 이라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}\mathrm{Q}_2$ 의 중점을 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{M}$ 을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 와 평행인 직선에 내린 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 의 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{P}_2^{\prime}$ 이라 하면 $\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}&=\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_1^{\prime}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}\\&=(\overrightarrow{\mathrm{MQ_1^{\prime}}}-\overrightarrow{\mathrm{MP_2}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{MQ_2}}-\overrightarrow{\mathrm{MP_2}})\\&=|\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{MQ_2}}|^2\\&=|\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2-5\end{aligned}$ 이다.점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 위를 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{M}$ 은 선분 $\displaystyle \mathrm{BE}$ 의 중점 $\displaystyle \mathrm{N}$ 과 점 $\displaystyle \mathrm{N}$ 을 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}$ 방향으로 $\displaystyle 8$ 만큼 이동한 점 $\displaystyle \mathrm{N}^{\prime}$ 을 끝점으로 하는 선분 위를 움직인다(그림 참조). 따라서

+5점 ·

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}

의 최솟값

\displaystyle -4

를 제시

(1) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2$ 의 최솟값: $\displaystyle \mathrm{M}$ 이 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 중점( $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이 선분 $\displaystyle \mathrm{ED}$ 의 중점)이고 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ 이거나, $\displaystyle \mathrm{M}$ 이 $\displaystyle \mathrm{EF}$ 의 중점( $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$ 의 중점)이고 $\displaystyle \mathrm{P}_2$ 가 점 $\displaystyle \mathrm{E}$ 인 경우이며,이 때 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2=1$ 이다(단, $\displaystyle \mathrm{F}$ 는 $\displaystyle \mathrm{E}$ 에서 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 로 내린 수선의 발이다).

+10점 ·

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}

의 최댓값

\displaystyle 16+4\sqrt{17}

를 제시

(2) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2$ 의 최댓값: $\displaystyle \mathrm{M}$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{N}$ ( $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$ )이고 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{N}$ 위에 반원 $\displaystyle O_2$ 의 중심이 있는 경우이거나 $\displaystyle \mathrm{M}$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{N}^{\prime}$ ( $\displaystyle \mathrm{Q}_1$ 이 점 $\displaystyle \mathrm{D}$ )이고 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{N}^{\prime}$ 위에 반원 $\displaystyle O_2$ 의 중심이 있는 경우이며,이 때 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2=(2+\sqrt{17})^2=21+4\sqrt{17}$ 이다.답 : 최솟값은 $\displaystyle -4$ , 최댓값은 $\displaystyle 16+4\sqrt{17}$

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 점수를 부여할 수 있음.

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