자연계열 2번

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$을 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$방향으로 $\displaystyle 4$만큼 이동시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}$이라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}\mathrm{Q}_2$의 중점을$\displaystyle \mathrm{M}$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{M}$을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 평행인 직선에 내린 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$의 수선의 발을$\displaystyle \mathrm{P}_2^{\prime}$이라 하면$\displaystyle \begin{aligned}|\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2&=|\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_1^{\prime}}}+\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}|^2\\&=|2\overrightarrow{\mathrm{P_2M}}|^2\\&=4\{(\overline{\mathrm{MP}_2^{\prime}})^2+(\overline{\mathrm{P}_2\mathrm{P}_2^{\prime}})^2\}\\&=80+8\sqrt3\end{aligned}$이다(그림 참조). 답 : $\displaystyle 80+8\sqrt3$

[논제 2] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$을 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$방향으로 $\displaystyle 4$만큼 이동시킨 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}$이라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm{Q}_1^{\prime}\mathrm{Q}_2$의 중점을$\displaystyle \mathrm{M}$이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{M}$을 지나고 직선 $\displaystyle \mathrm{AD}$와 평행인 직선에 내린 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$의 수선의 발을$\displaystyle \mathrm{P}_2^{\prime}$이라 하면$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{P_1Q_1}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}&=\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_1^{\prime}}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P_2Q_2}}\\&=(\overrightarrow{\mathrm{MQ_1^{\prime}}}-\overrightarrow{\mathrm{MP_2}})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{MQ_2}}-\overrightarrow{\mathrm{MP_2}})\\&=|\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{MQ_2}}|^2\\&=|\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2-5\end{aligned}$이다.점 $\displaystyle \mathrm{Q}_1$이 선분 $\displaystyle \mathrm{AD}$ 위를 움직일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{M}$은 선분 $\displaystyle \mathrm{BE}$의 중점 $\displaystyle \mathrm{N}$과 점 $\displaystyle \mathrm{N}$을 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AD}}$방향으로 $\displaystyle 8$만큼 이동한 점 $\displaystyle \mathrm{N}^{\prime}$을 끝점으로 하는 선분 위를 움직인다(그림 참조). 따라서

(1) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2$의 최솟값: $\displaystyle \mathrm{M}$이 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 중점($\displaystyle \mathrm{Q}_1$이 선분 $\displaystyle \mathrm{ED}$의 중점)이고 $\displaystyle \mathrm{P}_2$가 점 $\displaystyle \mathrm{D}$이거나,$\displaystyle \mathrm{M}$이 $\displaystyle \mathrm{EF}$의 중점($\displaystyle \mathrm{Q}_1$이 선분 $\displaystyle \mathrm{AE}$의 중점)이고 $\displaystyle \mathrm{P}_2$가 점 $\displaystyle \mathrm{E}$인 경우이며,이 때 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2=1$이다(단, $\displaystyle \mathrm{F}$는 $\displaystyle \mathrm{E}$에서 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$로 내린 수선의 발이다).

(2) $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2$의 최댓값: $\displaystyle \mathrm{M}$이 점 $\displaystyle \mathrm{N}$($\displaystyle \mathrm{Q}_1$이 점 $\displaystyle \mathrm{A}$)이고 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{N}$ 위에 반원 $\displaystyle O_2$의 중심이 있는 경우이거나 $\displaystyle \mathrm{M}$이 점 $\displaystyle \mathrm{N}^{\prime}$($\displaystyle \mathrm{Q}_1$이 점 $\displaystyle \mathrm{D}$)이고 선분 $\displaystyle \mathrm{P}_2\mathrm{N}^{\prime}$ 위에 반원 $\displaystyle O_2$의 중심이 있는 경우이며,이 때 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{MP_2}}|^2=(2+\sqrt{17})^2=21+4\sqrt{17}$이다.답 : 최솟값은 $\displaystyle -4$, 최댓값은 $\displaystyle 16+4\sqrt{17}$