자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle i$번째 사업 ($\displaystyle i=1,2,3,4$)에 투자할 금액을 $\displaystyle x_i$라고 하면, 주어진 조건에서$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4=20,\quad x_1\ge2,\;x_2\ge2,\;x_3\ge3,\;x_4\ge4$ (단위:억)이다. 적어도 3가지 사업에 투자해야 할 경우는

이다. 따라서 모든 방법의 수는 $\displaystyle 572$ 이다.

[논제 2] 최소투자금액을 고려하여 $\displaystyle z_1=x_1-1,z_2=x_2-1,z_3=x_3-1,z_4=x_4-1$이라 하면, 방정식$\displaystyle z_1+z_2+z_3+z_4=16,\;z_i\ge0,\;i=1,2,3,4$의 음이 아닌 정수해를 구하는 것과 같다.먼저 $\displaystyle k=1$인 경우를 생각해보자. $\displaystyle 2$가지 사업의 투자금액이 $\displaystyle 1$억이라는 것은 $\displaystyle z_1,z_2,z_3,z_4$ 중에서 $\displaystyle 0$이 $\displaystyle 2$개 있다는 것을 의미한다. $\displaystyle 0$을 $\displaystyle 2$개 정하는 경우는 $\displaystyle {}_4\mathrm{C}_2=6$개 있으므로 만일 $\displaystyle z_1=z_2=0$일 때, $\displaystyle z_3+z_4=16$을 만족하는 음이 아닌 정수 $\displaystyle z_3,z_4$의 개수는 $\displaystyle {}_{17}\mathrm{C}_1=17$개 있다. 그런데 $\displaystyle (z_3,z_4)=(0,16)$과 $\displaystyle (z_3,z_4)=(16,0)$은 투자금액이 $\displaystyle 1$억인 사업이 $\displaystyle 3$개가 되는 경우가 되므로 $\displaystyle n(1)=6\times(17-2)=90$이다.이와 같은 방법으로 $\displaystyle n(k),k=2,3,\cdots,9$를 구하면 다음과 같다.

결국 $\displaystyle \sum_{k=1}^9n(k)=420$이다.

[논제 3] $\displaystyle {}_6\mathrm{H}_{20-6}$는 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_6=14$의 음이 아닌 정수해의 개수이고, 마찬가지로 $\displaystyle {}_6\mathrm{H}_{20-k}$ ($\displaystyle k=7,8,\cdots,20$)는 방정식 $\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_6=20-k$의 음이 아닌 정수해의 개수이므로 $\displaystyle \sum_{k=6}^{20}{}_6\mathrm{H}_{20-k}$는 부등식 $\displaystyle \sum_{i=1}^6z_i\le14$의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

이것은 (새로운 변수 $\displaystyle z_7$을 사용하여) 방정식 $\displaystyle \sum_{i=1}^7z_i=14$의 음이 아닌 정수해의 개수와도 같다. 따라서 $\displaystyle \sum_{k=6}^{20}{}_6\mathrm{H}_{20-k}={}_7\mathrm{H}_{14}={}_{20}\mathrm{C}_{14}$이므로 $\displaystyle a=20$이다.