자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle g(x)$가 구간 $\displaystyle (1,2)$에서 증가하려면 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0$이어야 한다. 함수 $\displaystyle g(x)$는$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{-f(x)x^2-2(a-F(x))x}{x^4}=\frac{-f(x)x-2a+2F(x)}{x^3}$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0$이려면$\displaystyle -f(x)x+2F(x)\ge2a$ …………… (A)

이어야 한다. $\displaystyle G(x)=-f(x)x+2F(x)$라 하자. 조건 (3)으로부터$\displaystyle G^{\prime}(x)=-f^{\prime}(x)x+f(x)$이고$\displaystyle G^{\prime\prime}(x)=-f^{\prime\prime}(x)x<0$이다. 따라서 $\displaystyle G^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle (1,2)$에서 감소한다. 조건 (1)로부터$\displaystyle G^{\prime}(1)=-f^{\prime}(1)+f(1)\le0$이므로 $\displaystyle 1<x<2$에서 $\displaystyle G^{\prime}(x)<0$이다. 따라서 연속함수 $\displaystyle G(x)$는 구간 $\displaystyle (1,2)$에서 감소한다.

구간 $\displaystyle [1,2]$에서 $\displaystyle G(x)$의 최솟값은$\displaystyle G(2)=-2f(2)+2F(2)$이므로 (A)로부터(i) $\displaystyle a\le F(2)-f(2)$이면 $\displaystyle 1<x<2$에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가한다.(ii) $\displaystyle a>F(2)-f(2)$이면 $\displaystyle g^{\prime}(2)<0$이므로 $\displaystyle g(x)$는 증가하지 않는다.결국 $\displaystyle a$의 최댓값은 $\displaystyle F(2)-f(2)$이다.

[논제 2] $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}+f(x)$을 적분하면 $\displaystyle h(0)=-1-\ln2$이므로$\displaystyle h(x)=e^x-\ln(e^x+1)+F(x)-2$

이다. 따라서$\displaystyle x=h(k(x))=e^{k(x)}-\ln(e^{k(x)}+1)+F(k(x))-2$이므로$\displaystyle \int_0^2e^t\{(F\circ k)(t)+e^{k(t)}-\ln(e^{k(t)}+1)\}\,dt=\int_0^2e^t(t+2)\,dt=3e^2-1$이다.