자연계열 2번

단국대 2020학년도 모의논술 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2020mo/jayeon_2

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 열린 구간 $\displaystyle (a,b)$ 에서 미분가능하고 이 구간에 속하는 임의의 $\displaystyle x$ 에 대하여∙ $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가한다.∙ $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수를 $\displaystyle g(x)$ 라 할 때 $\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=x$

(다) 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 $\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

(라) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 미분가능할 때, $\displaystyle \int f^{\prime}(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime}(x)\,dx$

실수 전체의 집합에서 연속인 이계도함수를 갖는 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$ 가 다음 조건을만족시킨다.

(1) $\displaystyle f^{\prime}(1)\ge f(1)$ (2) $\displaystyle x\ge0$ 인 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge0$ (3) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0$

[논제 1] 구간 $\displaystyle [1,2]$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{a-F(x)}{x^2}$ 에 대하여 아래 조건을 만족시키는 실수 $\displaystyle a$ 의 최댓값이 $\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx-f(2)$ 와 같음을 설명하시오. [25점]

함수 $\displaystyle g(x)$ 는 구간 $\displaystyle (1,2)$ 에서 증가한다.

[논제 2] 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}+f(x)$ 를 만족시킬 때, $\displaystyle h(x)$ 의 역함수 $\displaystyle k(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_0^2e^t\{(F\circ k)(t)+e^{k(t)}-\ln(e^{k(t)}+1)\}\,dt$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle h(0)=-1-\ln2$ ) [20점]

해설강의 준비중

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+6점 ·

\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0

인 조건을 제시

[논제 1] $\displaystyle g(x)$ 가 구간 $\displaystyle (1,2)$ 에서 증가하려면 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0$ 이어야 한다. 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{-f(x)x^2-2(a-F(x))x}{x^4}=\frac{-f(x)x-2a+2F(x)}{x^3}$ 이므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)\ge0$ 이려면 $\displaystyle -f(x)x+2F(x)\ge2a$ …………… (A)

+6점 ·

\displaystyle -f^{\prime}(x)x+f(x)<0

임을 제시

이어야 한다. $\displaystyle G(x)=-f(x)x+2F(x)$ 라 하자. 조건 (3)으로부터 $\displaystyle G^{\prime}(x)=-f^{\prime}(x)x+f(x)$ 이고 $\displaystyle G^{\prime\prime}(x)=-f^{\prime\prime}(x)x<0$ 이다. 따라서 $\displaystyle G^{\prime}(x)$ 는 구간 $\displaystyle (1,2)$ 에서 감소한다. 조건 (1)로부터 $\displaystyle G^{\prime}(1)=-f^{\prime}(1)+f(1)\le0$ 이므로 $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle G^{\prime}(x)<0$ 이다.

+6점 ·

\displaystyle -f(x)x+2F(x)

가 감소함을 제시

따라서 연속함수 $\displaystyle G(x)$ 는 구간 $\displaystyle (1,2)$ 에서 감소한다.

+7점 ·

\displaystyle a

의 최댓값이

\displaystyle \int_0^2f(x)\,dx-f(2)

임을 설명

구간 $\displaystyle [1,2]$ 에서 $\displaystyle G(x)$ 의 최솟값은 $\displaystyle G(2)=-2f(2)+2F(2)$ 이므로 (A)로부터(i) $\displaystyle a\le F(2)-f(2)$ 이면 $\displaystyle 1<x<2$ 에서 $\displaystyle g^{\prime}(x)>0$ 이므로 $\displaystyle g(x)$ 는 증가한다.(ii) $\displaystyle a>F(2)-f(2)$ 이면 $\displaystyle g^{\prime}(2)<0$ 이므로 $\displaystyle g(x)$ 는 증가하지 않는다.결국 $\displaystyle a$ 의 최댓값은 $\displaystyle F(2)-f(2)$ 이다.

+8점 ·

\displaystyle h(x)=e^x-\ln(e^x+1)+F(x)-2

를 제시

[논제 2] $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{e^{2x}}{e^x+1}+f(x)$ 을 적분하면 $\displaystyle h(0)=-1-\ln2$ 이므로 $\displaystyle h(x)=e^x-\ln(e^x+1)+F(x)-2$

+7점 ·

\displaystyle \int_0^2e^t\{(F\circ k)(t)+e^{k(t)}-\ln(e^{k(t)}+1)\}\,dt=\int_0^2e^t(t+2)\,dt

를 제시

+5점 · 정답을 제시

이다. 따라서 $\displaystyle x=h(k(x))=e^{k(x)}-\ln(e^{k(x)}+1)+F(k(x))-2$ 이므로 $\displaystyle \int_0^2e^t\{(F\circ k)(t)+e^{k(t)}-\ln(e^{k(t)}+1)\}\,dt=\int_0^2e^t(t+2)\,dt=3e^2-1$ 이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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