수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

단국대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021mo/jayeon_1

배점55점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 다항식 P(x)\displaystyle P(x)를 다항식 A(x)\displaystyle A(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)\displaystyle Q(x), 나머지를 R(x)\displaystyle R(x)라고 하면P(x)=A(x)Q(x)+R(x)\displaystyle P(x)=A(x)Q(x)+R(x)

(나) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 극값을 가지면 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 닫힌구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고, a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능하고 f′(x),g′(x)\displaystyle f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)가 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)\,dx

다항함수 f(x)\displaystyle f(x)와 함수 g(x)=1−x2\displaystyle g(x)=\sqrt{1-x^2}에 대하여(1) f(x)\displaystyle f(x)를 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)로 나누었을 때의 몫을 Q(x)\displaystyle Q(x), 나머지를 R(x)\displaystyle R(x)라 하자.(2) 양의 실수 m\displaystyle m에 대하여, 직선 y=mx\displaystyle y=mx와 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)가 만나는 점을 P\displaystyle \mathrm{P}라고 하자.점 P\displaystyle \mathrm{P}에서 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x)에 접하는 직선이 x\displaystyle x축과 만나는 점을 A\displaystyle \mathrm{A}, y\displaystyle y축과 만나는 점을 B\displaystyle \mathrm{B}라 할 때,∙ 점 A\displaystyle \mathrm{A}의 x\displaystyle x좌표의 값과 점 B\displaystyle \mathrm{B}의 y\displaystyle y좌표의 값 중 크지 않은 값을반지름의 길이로 하고 중심이 P\displaystyle \mathrm{P} 인 원의 넓이를 C(m)\displaystyle C(m)이라 하자.∙ 삼각형 OAB\displaystyle \mathrm{OAB}의 넓이를 S(m)\displaystyle S(m)이라 하자. (단, O\displaystyle \mathrm{O} 는 원점이다)

반원 위의 점 P에서 그은 접선과 두 좌표축의 교점 A, B

[논제 1] 다항함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=x1,x=x2,⋯ ,x=xn\displaystyle x=x_1,x=x_2,\cdots,x=x_n에서 극값을 가질 때,점 (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯ ,(xn,f(xn))\displaystyle (x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\cdots,(x_n,f(x_n))은 곡선 y=R(x)\displaystyle y=R(x) 위에 있음을 설명하시오. (15점)

[논제 2] 최고차항의 계수가 1\displaystyle 1인 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 Q(x)\displaystyle Q(x)와 R(x)\displaystyle R(x)가1π∫1−t1+tC(m) dm=R(t)−13Q(t)−13(1−t)3,(0<t<1)\displaystyle \frac1\pi\int_{1-t}^{1+t}C(m)\,dm=R(t)-\frac1{3Q(t)}-\frac13(1-t)^3,\qquad(0<t<1)을 만족시킬 때, f(1)\displaystyle f(1)의 값을 구하시오. (20점)

[논제 3] ∫12mln⁡(S(m)) dm−∫12ln⁡(S(m))m3 dm\displaystyle \int_1^2 m\ln(S(m))\,dm-\int_1^2\frac{\ln(S(m))}{m^3}\,dm의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

단국대 2021학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2021mo/jayeon_1

+7점 · 관계식 f(x)=f′(x)Q(x)+R(x)\displaystyle f(x)=f^{\prime}(x)Q(x)+R(x)를 제시

[논제 1] 제시문 (가)와 조건 (1)에 의하여f(x)=f′(x)Q(x)+R(x)\displaystyle f(x)=f^{\prime}(x)Q(x)+R(x)이다.

+5점 · f(xi)=R(xi)\displaystyle f(x_i)=R(x_i) (i=1,2,⋯ ,n\displaystyle i=1,2,\cdots,n)임을 제시

f(x)\displaystyle f(x)는 x=x1,x=x2,⋯ ,x=xn\displaystyle x=x_1,x=x_2,\cdots,x=x_n에서 극값을 가지므로 제시문 (나)에 의하여f′(x1)=0,f′(x2)=0,⋯ ,f′(xn)=0\displaystyle f^{\prime}(x_1)=0,f^{\prime}(x_2)=0,\cdots,f^{\prime}(x_n)=0이고, 따라서f(x1)=R(x1),f(x2)=R(x2),⋯ ,f(xn)=R(xn)\displaystyle f(x_1)=R(x_1),f(x_2)=R(x_2),\cdots,f(x_n)=R(x_n)이다.

+3점 · 결론을 제시

그러므로 점 (x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯ ,(xn,f(xn))\displaystyle (x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\cdots,(x_n,f(x_n))은 곡선 y=R(x)\displaystyle y=R(x) 위의 점이다.

+7점 · C(m)\displaystyle C(m)을 제시

[논제 2] 점 P\displaystyle \mathrm{P}의 좌표는P(1m2+1,mm2+1)\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac1{\sqrt{m^2+1}},\frac m{\sqrt{m^2+1}}\right)이므로 곡선 y=g(x)\displaystyle y=g(x) 위의 점 P\displaystyle \mathrm{P}에서의 접선의 방정식은y−mm2+1=−1m(x−1m2+1)\displaystyle y-\frac m{\sqrt{m^2+1}}=-\frac1m\left(x-\frac1{\sqrt{m^2+1}}\right)이다. 그러므로 C(m)\displaystyle C(m)을 구하면C(m)={π1+m2m2,m≥1π(1+m2),m<1\displaystyle C(m)=\begin{cases}\pi\frac{1+m^2}{m^2},&m\ge1\\\pi(1+m^2),&m<1\end{cases}이다.

+5점 · Q(t)\displaystyle Q(t)와 R(t)\displaystyle R(t)를 제시

문제의 조건에 의하여R(t)−13Q(t)−13(1−t)3=1π∫1−t1+tC(m) dm=∫1−t1(1+m2) dm+∫11+t1+m2m2 dm=[m+13m3]1−t1+[−1m+m]11+t=43−13(1−t)3+2t−11+t\displaystyle \begin{aligned}R(t)-\frac1{3Q(t)}-\frac13(1-t)^3&=\frac1\pi\int_{1-t}^{1+t}C(m)\,dm\\&=\int_{1-t}^1(1+m^2)\,dm+\int_1^{1+t}\frac{1+m^2}{m^2}\,dm\\&=\Biggl[m+\frac13m^3\Biggr]_{1-t}^1+\Biggl[-\frac1m+m\Biggr]_1^{1+t}\\&=\frac43-\frac13(1-t)^3+2t-\frac1{1+t}\end{aligned}이므로R(t)−43−2t=13Q(t)−11+t\displaystyle R(t)-\frac43-2t=\frac1{3Q(t)}-\frac1{1+t}이다. 따라서Q(t)=13(t+1),R(t)=43+2t\displaystyle Q(t)=\frac13(t+1),\qquad R(t)=\frac43+2t이다.

+5점 · f(x)\displaystyle f(x)를 제시

f(x)=x3+a2x2+a1x+a0\displaystyle f(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0라 하면 f′(x)=3x2+2a2x+a1\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2a_2x+a_1이고x3+a2x2+a1x+a0=(3x2+2a2x+a1)(x+13)+43+2x\displaystyle x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(3x^2+2a_2x+a_1)\left(\frac{x+1}3\right)+\frac43+2x에서 a2=3,a1=6,a0=103\displaystyle a_2=3,a_1=6,a_0=\frac{10}3을 얻는다. 따라서,f(x)=x3+3x2+6x+103\displaystyle f(x)=x^3+3x^2+6x+\frac{10}3

+3점 · 정답을 제시

이고 f(1)=403\displaystyle f(1)=\frac{40}3이다.

+5점 · S(m)\displaystyle S(m)을 제시

[논제 3] 삼각형 OAB\displaystyle \mathrm{OAB}의 넓이 S(m)\displaystyle S(m)은S(m)=1+m22m\displaystyle S(m)=\frac{1+m^2}{2m}이고

+5점 · S′(m)\displaystyle S^{\prime}(m)을 제시

S′(m)=2m×2m−(1+m2)24m2=m2−12m2\displaystyle S^{\prime}(m)=\frac{2m\times2m-(1+m^2)2}{4m^2}=\frac{m^2-1}{2m^2}이다.

+10점 · 정답을 제시

u=S(m)\displaystyle u=S(m)으로 치환하면S(1)=1,S(2)=54\displaystyle S(1)=1,S(2)=\frac54이고du=S′(m) dm=m2−12m2 dm\displaystyle du=S^{\prime}(m)\,dm=\frac{m^2-1}{2m^2}\,dm이므로 제시문 (다)와 (라)에 의하여∫12mln⁡(S(m)) dm−∫12ln⁡(S(m))m3 dm=∫12m4−1m3ln⁡(S(m)) dm=4∫154uln⁡u du=2[u2ln⁡u]154−2∫154u du=258ln⁡(54)−916\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2m\ln(S(m))\,dm-\int_1^2\frac{\ln(S(m))}{m^3}\,dm&=\int_1^2\frac{m^4-1}{m^3}\ln(S(m))\,dm\\&=4\int_1^{\frac54}u\ln u\,du\\&=2\Biggl[u^2\ln u\Biggr]_1^{\frac54}-2\int_1^{\frac54}u\,du\\&=\frac{25}8\ln\left(\frac54\right)-\frac9{16}\end{aligned}을 얻는다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.