자연계열 1번

[논제 1] 제시문 (가)와 조건 (1)에 의하여$\displaystyle f(x)=f^{\prime}(x)Q(x)+R(x)$이다.

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=x_1,x=x_2,\cdots,x=x_n$에서 극값을 가지므로 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle f^{\prime}(x_1)=0,f^{\prime}(x_2)=0,\cdots,f^{\prime}(x_n)=0$이고, 따라서$\displaystyle f(x_1)=R(x_1),f(x_2)=R(x_2),\cdots,f(x_n)=R(x_n)$이다.

그러므로 점 $\displaystyle (x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2)),\cdots,(x_n,f(x_n))$은 곡선 $\displaystyle y=R(x)$ 위의 점이다.

[논제 2] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는$\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac1{\sqrt{m^2+1}},\frac m{\sqrt{m^2+1}}\right)$이므로 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y-\frac m{\sqrt{m^2+1}}=-\frac1m\left(x-\frac1{\sqrt{m^2+1}}\right)$이다. 그러므로 $\displaystyle C(m)$을 구하면$\displaystyle C(m)=\begin{cases}\pi\frac{1+m^2}{m^2},&m\ge1\\\pi(1+m^2),&m<1\end{cases}$이다.

문제의 조건에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}R(t)-\frac1{3Q(t)}-\frac13(1-t)^3&=\frac1\pi\int_{1-t}^{1+t}C(m)\,dm\\&=\int_{1-t}^1(1+m^2)\,dm+\int_1^{1+t}\frac{1+m^2}{m^2}\,dm\\&=\Biggl[m+\frac13m^3\Biggr]_{1-t}^1+\Biggl[-\frac1m+m\Biggr]_1^{1+t}\\&=\frac43-\frac13(1-t)^3+2t-\frac1{1+t}\end{aligned}$이므로$\displaystyle R(t)-\frac43-2t=\frac1{3Q(t)}-\frac1{1+t}$이다. 따라서$\displaystyle Q(t)=\frac13(t+1),\qquad R(t)=\frac43+2t$이다.

$\displaystyle f(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2a_2x+a_1$이고$\displaystyle x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=(3x^2+2a_2x+a_1)\left(\frac{x+1}3\right)+\frac43+2x$에서 $\displaystyle a_2=3,a_1=6,a_0=\frac{10}3$을 얻는다. 따라서,$\displaystyle f(x)=x^3+3x^2+6x+\frac{10}3$

이고 $\displaystyle f(1)=\frac{40}3$이다.

[논제 3] 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$의 넓이 $\displaystyle S(m)$은$\displaystyle S(m)=\frac{1+m^2}{2m}$이고

$\displaystyle S^{\prime}(m)=\frac{2m\times2m-(1+m^2)2}{4m^2}=\frac{m^2-1}{2m^2}$이다.

$\displaystyle u=S(m)$으로 치환하면$\displaystyle S(1)=1,S(2)=\frac54$이고$\displaystyle du=S^{\prime}(m)\,dm=\frac{m^2-1}{2m^2}\,dm$이므로 제시문 (다)와 (라)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2m\ln(S(m))\,dm-\int_1^2\frac{\ln(S(m))}{m^3}\,dm&=\int_1^2\frac{m^4-1}{m^3}\ln(S(m))\,dm\\&=4\int_1^{\frac54}u\ln u\,du\\&=2\Biggl[u^2\ln u\Biggr]_1^{\frac54}-2\int_1^{\frac54}u\,du\\&=\frac{25}8\ln\left(\frac54\right)-\frac{19}{16}\end{aligned}$Correction. 상수항 $\displaystyle -\frac{19}{16}$은 $\displaystyle -\frac9{16}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 얻는다.