자연계열 2번

[논제 1]중복되는 번호의 개수가 $\displaystyle k$일 확률 $\displaystyle \mathrm{P}(X=k)$는"두 번째로 공을 뽑을 때, 처음 뽑힌 $\displaystyle 10$개의 공 중에서 $\displaystyle k$개의 공을 뽑고 처음에 뽑히지 않은 나머지 $\displaystyle 40$개의 공 중에서 $\displaystyle 10-k$개를 뽑을 확률"과 같으므로$\displaystyle \mathrm{P}(X=k)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}$이다.

제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle 5\times{}_{10}\mathrm{C}_{5}=10\times{}_{9}\mathrm{C}_{4}$ 이므로$\displaystyle \mathrm{P}(X=5)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{5}\times{}_{40}\mathrm{C}_{5}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}=2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{4}\times{}_{40}\mathrm{C}_{35}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}$가 되어 $\displaystyle a=2$ 이다.

[논제 2]확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle \mathrm{E}(X)$는$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{k=0}^{10}k\mathrm{P}(X=k)=\sum_{k=1}^{10}k\mathrm{P}(X=k)$이다.

$\displaystyle k=1,2,\cdots,10$에 대하여$\displaystyle k\mathrm{P}(X=k)=k\times\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}$이고, 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle k\times{}_{10}\mathrm{C}_{k}=10\times{}_{9}\mathrm{C}_{k-1}$, $\displaystyle {}_{50}\mathrm{C}_{10}=\frac{50}{10}\times{}_{49}\mathrm{C}_{9}$ 이므로$\displaystyle k\mathrm{P}(X=k)=k\times\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}=\frac{10^{2}}{50}\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k-1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}$이다. 따라서$\displaystyle \mathrm{E}(X)=2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}$$\displaystyle =2\left(\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}\right)$이다.

$\displaystyle k=0,1,\cdots,9$에 대하여 $\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}$는"검은색 공이 $\displaystyle 9$개, 흰색 공이 $\displaystyle 40$개 들어있는 주머니에서 $\displaystyle 9$개의 공을 동시에 뽑았을 때 검은색 공이 $\displaystyle k$개 뽑힐 확률"과 같다. 그러므로 제시문 (다)에 의하여 모든 확률 $\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}$의 합은 $\displaystyle 1$이다. 즉,$\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}=1$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=2$이다.