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자연계열 2번

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단국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dankook/2021mo/jayeon_2

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문제

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 순서를 생각하지 않고 r\displaystyle r (0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)개를 택하는 경우의 수 nCr\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}은nCr=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

(나) 자연수 n\displaystyle n과 r\displaystyle r (1≤r≤n\displaystyle 1\le r\le n)에 대하여r×nCr=r×n!r!(n−r)!=n×n−1Cr−1\displaystyle r\times{}_{n}\mathrm{C}_{r}=r\times\frac{n!}{r!(n-r)!}=n\times{}_{n-1}\mathrm{C}_{r-1}

(다) 이산확률변수 X\displaystyle X가 가지는 모든 값이 x1,x2,⋯ ,xn\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}이고 X\displaystyle X가 이 값들을 가질 확률을 순서대로 p1,p2,⋯ ,pn\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}이라고 할 때,∑i=1npi=p1+p2+⋯+pn=1\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_{i}=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1을 만족시키고, 이때 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)는E(X)=∑i=1nxipi=x1p1+x2p2+⋯+xnpn\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots+x_{n}p_{n}

1\displaystyle 1부터 50\displaystyle 50까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 50\displaystyle 50개의 공이 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 10\displaystyle 10개의 공을 동시에 꺼내 공에 적힌 수를 확인하고 주머니에 넣은 뒤, 다시 10\displaystyle 10개의 공을 동시에 꺼낸다.처음 꺼내 확인했던 10\displaystyle 10개의 공에 적힌 수와 나중에 꺼내 확인했던 10\displaystyle 10개의 공에 적힌 수 중에서 중복되는 수의 개수를 확률변수 X\displaystyle X라 하자.

[논제 1] P(X=5)=a×9C4×40C3550C10\displaystyle \mathrm{P}(X=5)=a\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{4}\times{}_{40}\mathrm{C}_{35}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}를 만족시키는 상수 a\displaystyle a의 값을 구하시오. (20점)

[논제 2] 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)를 구하시오. (25점)

단국대 2021학년도 모의 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/dankook/2021mo/jayeon_2

+10점 · P(X=5)\displaystyle \mathrm{P}(X=5)를 제시

[논제 1]중복되는 번호의 개수가 k\displaystyle k일 확률 P(X=k)\displaystyle \mathrm{P}(X=k)는"두 번째로 공을 뽑을 때, 처음 뽑힌 10\displaystyle 10개의 공 중에서 k\displaystyle k개의 공을 뽑고 처음에 뽑히지 않은 나머지 40\displaystyle 40개의 공 중에서 10−k\displaystyle 10-k개를 뽑을 확률"과 같으므로P(X=k)=10Ck×40C10−k50C10\displaystyle \mathrm{P}(X=k)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}이다.

+10점 · a=2\displaystyle a=2를 제시

제시문 (나)에 의하여 5×10C5=10×9C4\displaystyle 5\times{}_{10}\mathrm{C}_{5}=10\times{}_{9}\mathrm{C}_{4} 이므로P(X=5)=10C5×40C550C10=2×9C4×40C3550C10\displaystyle \mathrm{P}(X=5)=\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{5}\times{}_{40}\mathrm{C}_{5}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}=2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{4}\times{}_{40}\mathrm{C}_{35}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}가 되어 a=2\displaystyle a=2 이다.

+5점 · 확률변수가 0\displaystyle 0일 때를 고려한 기댓값을 제시

[논제 2]확률변수 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)는E(X)=∑k=010kP(X=k)=∑k=110kP(X=k)\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{k=0}^{10}k\mathrm{P}(X=k)=\sum_{k=1}^{10}k\mathrm{P}(X=k)이다.

+10점 · kP(X=k)=10250×9Ck−1×40C10−k49C9\displaystyle k\mathrm{P}(X=k)=\frac{10^{2}}{50}\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k-1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}를 제시

k=1,2,⋯ ,10\displaystyle k=1,2,\cdots,10에 대하여kP(X=k)=k×10Ck×40C10−k50C10\displaystyle k\mathrm{P}(X=k)=k\times\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}이고, 제시문 (나)에 의하여 k×10Ck=10×9Ck−1\displaystyle k\times{}_{10}\mathrm{C}_{k}=10\times{}_{9}\mathrm{C}_{k-1}, 50C10=5010×49C9\displaystyle {}_{50}\mathrm{C}_{10}=\frac{50}{10}\times{}_{49}\mathrm{C}_{9} 이므로kP(X=k)=k×10Ck×40C10−k50C10=10250×9Ck−1×40C10−k49C9\displaystyle k\mathrm{P}(X=k)=k\times\frac{{}_{10}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{50}\mathrm{C}_{10}}=\frac{10^{2}}{50}\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k-1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{10-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}이다. 따라서E(X)=2×9C0×40C949C9+2×9C1×40C849C9+⋯+2×9C9×40C049C9\displaystyle \mathrm{E}(X)=2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+2\times\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}=2(9C0×40C949C9+9C1×40C849C9+⋯+9C9×40C049C9)\displaystyle =2\left(\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}\right)이다.

+5점 · 9C0×40C949C9+9C1×40C849C9+⋯+9C9×40C049C9=1\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}=1을 제시

k=0,1,⋯ ,9\displaystyle k=0,1,\cdots,9에 대하여 9Ck×40C9−k49C9\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}는"검은색 공이 9\displaystyle 9개, 흰색 공이 40\displaystyle 40개 들어있는 주머니에서 9\displaystyle 9개의 공을 동시에 뽑았을 때 검은색 공이 k\displaystyle k개 뽑힐 확률"과 같다. 그러므로 제시문 (다)에 의하여 모든 확률 9Ck×40C9−k49C9\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{k}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9-k}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}의 합은 1\displaystyle 1이다. 즉,9C0×40C949C9+9C1×40C849C9+⋯+9C9×40C049C9=1\displaystyle \frac{{}_{9}\mathrm{C}_{0}\times{}_{40}\mathrm{C}_{9}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{1}\times{}_{40}\mathrm{C}_{8}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}+\cdots+\frac{{}_{9}\mathrm{C}_{9}\times{}_{40}\mathrm{C}_{0}}{{}_{49}\mathrm{C}_{9}}=1이다.

+5점 · E(X)=2\displaystyle \mathrm{E}(X)=2를 제시

따라서 E(X)=2\displaystyle \mathrm{E}(X)=2이다.

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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