자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac12$이려면 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 또는 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$의 중점에 있어야 한다. 한편, $\displaystyle t=\frac7{15}$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}$의 위치는 $\displaystyle f\left(\frac7{15}\right)=7$로 부터 $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$의 변을 따라 시계 반대 방향으로 두 바퀴 돌고 $\displaystyle \mathrm{B}$에 있을 때이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\frac12$이려면 $\displaystyle k=1,2,3$과 $\displaystyle m=1,2$에 대하여$\displaystyle \frac t{1-2t}=f(t)=3(k-1)+\frac12\quad$ 또는 $\displaystyle \quad\frac t{1-2t}=f(t)=3(m-1)+\frac52$이다.

따라서 $\displaystyle t=\frac14,\frac5{12},\frac7{16},\frac{11}{24},\frac{13}{28}$이다.

[논제 2] 조건 (2)의 양변을 $\displaystyle x$에 관하여 미분하면$\displaystyle h(x)=h(x)+xh^{\prime}(x)-180x^3+132x^2-24x$이다.$\displaystyle h^{\prime}(x)=12(3x-1)(5x-2)\qquad\cdots\cdots$ ①이고,$\displaystyle h(x)=60x^3-66x^2+24x+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수) $\displaystyle \quad\cdots\cdots$ ②이다.

식 ①로부터 $\displaystyle a=\frac13$, $\displaystyle b=\frac25$이다.

구간 $\displaystyle \frac13\le t\le\frac25$에서 $\displaystyle g(t)$를 구하자.$\displaystyle f\left(\frac13\right)=1,\quad f\left(\frac25\right)=2$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 위에 있다. 따라서$\displaystyle g(t)=\frac12\left(-\frac12+f(t)\right)=\frac{4t-1}{4-8t}$이고,$\displaystyle \left(\frac2{ab}\right)^2\int_a^b(4-8t)g(t)\,dt=225\int_{1/3}^{2/5}(4t-1)\,dt=7$이다.

그러므로 조건 (2)에서 $\displaystyle h(1)=10$을 얻고, 식 ②로 부터 $\displaystyle C=-8$이다. 결국 $\displaystyle h(-1)=-158$이다.

[논제 3] 먼저 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac49\right]$에서 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$에 위치하는 시각은 각각$\displaystyle t=0,\frac37,\quad t=\frac13,\frac49,\quad t=\frac25$이다. 이제 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac49\right)$에서 $\displaystyle g(t)$를 구하자.(1) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있는 경우: $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle 0<t\le\frac13$과 $\displaystyle \frac37\le t<\frac49$이다. $\displaystyle 0<t\le\frac13$에 대하여,$\displaystyle g(t)=\frac12\left(1-\frac12f(t)\right)=\frac12-\frac14f(t)$이고 $\displaystyle \frac37\le t<\frac49$에 대하여,$\displaystyle g(t)=\frac12\left(1-\frac12(f(t)-3)\right)=\frac54-\frac14f(t)$(2) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$ 위에 있는 경우: $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac13\le t\le\frac25$이다. 이 때$\displaystyle g(t)=\frac12\left(-\frac12+f(t)\right)=-\frac14+\frac12f(t)$(3) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$가 선분 $\displaystyle \mathrm{AC}$ 위에 있는 경우: $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac25\le t\le\frac37$이다. 이 때$\displaystyle g(t)=\frac12\left(\frac52-\frac12f(t)\right)=\frac54-\frac14f(t)$따라서,$\displaystyle G(x)=\begin{cases}\frac12-\frac14x,&0<x<1\\-\frac14+\frac12x,&1\le x<2\\\frac54-\frac14x,&2\le x<4\end{cases}$라 할 때$\displaystyle g(t)=G(f(t))=\begin{cases}\frac12-\frac14f(t),&0<t<\frac13\\-\frac14+\frac12f(t),&\frac13\le t<\frac25\\\frac54-\frac14f(t),&\frac25\le t<\frac49\end{cases}$

이다. 함수 $\displaystyle f(t)$는 열린구간 $\displaystyle \left(0,\frac49\right)$에서 미분가능하고 $\displaystyle G(x)$는 $\displaystyle x=1,2$를 제외한 점에서 미분가능하므로 $\displaystyle g(t)$의 미분가능성은 $\displaystyle t=\frac13$과 $\displaystyle t=\frac25$에서만 조사하면 된다.(ⅰ) $\displaystyle t=\frac13$일 때,$\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{g(\frac13+h)-g(\frac13)}h=-\frac14f^{\prime}\left(\frac13\right)\ne\frac12f^{\prime}\left(\frac13\right)=\lim_{h\to0+}\frac{g(\frac13+h)-g(\frac13)}h$이므로 $\displaystyle t=\frac13$에서 미분가능하지 않다.(ⅱ) $\displaystyle t=\frac25$일 때,$\displaystyle \lim_{h\to0-}\frac{g(\frac25+h)-g(\frac25)}h=\frac12f^{\prime}\left(\frac25\right)\ne-\frac14f^{\prime}\left(\frac25\right)=\lim_{h\to0+}\frac{g(\frac25+h)-g(\frac25)}h$이므로 $\displaystyle t=\frac25$에서 미분가능하지 않다. 따라서 $\displaystyle g(t)$가 미분가능하지 않은 점은 $\displaystyle t=\frac13,\frac25$이다.