자연계열 2번

[논제 1] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (s,f(s))$를 지나는 접선의 방정식은$\displaystyle y=\frac{e^{-s+a}}{(1+e^{-s+a})^2}(x-s)+\frac1{1+e^{-s+a}}$이다. 이 접선이 점 $\displaystyle (t,0)$을 지나면$\displaystyle t=-e^{s-a}+s-1$이다. 따라서 $\displaystyle u(x)=-e^{x-a}+x-1$이라 하면 $\displaystyle n(t)$는 곡선 $\displaystyle y=u(x)$와 직선 $\displaystyle y=t$의 교점의 개수이다.

함수 $\displaystyle u(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

위 표에서 함수 $\displaystyle u(x)$는 $\displaystyle x=a$일 때 최댓값 $\displaystyle a-2$가 된다. 그러므로$\displaystyle n(t)=\begin{cases}0,&t>a-2\\1,&t=a-2\\2,&t<a-2\end{cases}\qquad\cdots\cdots$ ①이다.

곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 곡선 $\displaystyle y=g(x)$는 $\displaystyle y$축에 대칭이므로 $\displaystyle m(t)=n(-t)$.따라서$\displaystyle m(t)=\begin{cases}0,&t<2-a\\1,&t=2-a\\2,&t>2-a\end{cases}$이다.

$\displaystyle n(t)+m(t)>0$이 성립하려면 $\displaystyle n(t)>0$ 또는 $\displaystyle m(t)>0$이어야 하고, $\displaystyle t\le a-2$ 또는 $\displaystyle 2-a\le t$이어야 한다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle n(t)+m(t)>0$이 성립하려면 $\displaystyle a-2\ge2-a$, 즉 $\displaystyle a\ge2$이어야 한다.

[논제 2] 먼저 $\displaystyle h(x)$가 삼차 이상의 다항함수인 경우에는$\displaystyle h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))$가 홀수차 다항함수이므로$\displaystyle \lim_{x\to\infty}h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))=\infty$와 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))=-\infty$또는$\displaystyle \lim_{x\to\infty}h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))=-\infty$와 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))=\infty$이다. 따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))\ge0$을 만족시킬 수 없다.한편, $\displaystyle h(x)$가 이차 이하의 다항함수일 때에는 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)(h^{\prime\prime}(x)-h^{\prime\prime}(0))\ge0$을 만족시킨다. 그러므로 $\displaystyle h(x)=bx^2+cx+d$라 하자.

이제, 조건 (2)를 만족시키는 $\displaystyle h(x)=bx^2+cx+d$를 찾기 위해서 함수 $\displaystyle F(x)$의 극값을 살펴보자.$\displaystyle F^{\prime}(x)=\frac{-e^{-x+a}}{1+e^{-x+a}}+2bx+c=0\qquad\cdots\cdots$ ②이므로, $\displaystyle G(x)=\frac{-e^{-x+a}}{1+e^{-x+a}}$라 할 때, 방정식 ②의 해는 방정식$\displaystyle G(x)=-2bx-c\qquad\cdots\cdots$ ③의 해와 같다.$\displaystyle G^{\prime}(x)=\frac{e^{-x+a}}{(1+e^{-x+a})^2}>0$이므로 $\displaystyle G(x)$는 증가함수이고,$\displaystyle \lim_{x\to\infty}G(x)=0,\quad\lim_{x\to-\infty}G(x)=-1$이므로$\displaystyle -1<G(x)<0$이다. 이를 바탕으로 $\displaystyle G(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

(A) $\displaystyle b\ne0$일 때는 직선 $\displaystyle \ell:y=-2bx-c$와 곡선 $\displaystyle y=G(x)$가 만나는 교점이 항상 존재한다.(ⅰ) 직선 $\displaystyle \ell$이 곡선 $\displaystyle y=G(x)$에 접하지 않을 경우:모든 교점의 좌우에서 직선 $\displaystyle \ell$의 그래프와 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 위, 아래가 바뀌므로 식 ②의 교점의 $\displaystyle x$좌표의 좌우에서 $\displaystyle F^{\prime}(x)$의 부호가 바뀐다. 따라서 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle F(x)$는 모든 교점의 $\displaystyle x$좌표에서 극값을 갖는다([그림 1]).

(ⅱ) 직선 $\displaystyle \ell$이 곡선 $\displaystyle y=G(x)$에 접할 경우: [논제 1]의 풀이의 식 ①로부터 교점은 2개 또는 1개이다.∙교점이 2개인 경우: 접하는 점이 아닌 다른 교점 $\displaystyle (x_0,y_0)$의 좌우에서 직선 $\displaystyle \ell$과 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 위, 아래가 바뀌므로 $\displaystyle F^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=x_0$의 좌우에서 부호가 바뀐다([그림 2]). 따라서 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=x_0$에서 극값을 갖는다.∙교점이 1개인 경우: 교점의 좌우에서 $\displaystyle F(x)$의 그래프는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀌므로 교점은 변곡점이고, 따라서 직선 $\displaystyle \ell$과 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 위, 아래가 바뀐다([그림 3]). 따라서 이 경우에도 $\displaystyle F(x)$는 극값을 갖는다.Correction. 변곡점을 갖는 그래프는 $\displaystyle F$가 아니라 $\displaystyle G$이다. 변곡접선 $\displaystyle y=\ell(x)$의 접점 앞뒤에서 $\displaystyle F^{\prime}(x)=G(x)-\ell(x)$의 부호가 바뀌므로, 이 점에서 $\displaystyle F$는 극값을 갖는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle b\ne0$인 경우에는 조건 (2)를 만족시키는 다항함수 $\displaystyle h(x)$가 존재하지 않는다.

(B) $\displaystyle b=0$일 때(ⅰ) 직선 $\displaystyle y=-c$와 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 교점이 존재하면 직선 $\displaystyle y=-c$와 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 위, 아래가 바뀐다. 따라서 이 경우에도 $\displaystyle F(x)$는 극값을 갖는다.(ⅱ) 직선 $\displaystyle y=-c$와 곡선 $\displaystyle y=G(x)$의 교점이 존재하지 않으면 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle F(x)$의 극값이 없다. 이때,$\displaystyle c\ge1$ 또는 $\displaystyle c\le0$그러므로 조건 (1), (2)를 만족시키는 다항함수 $\displaystyle h(x)$는$\displaystyle h(x)=cx+d\quad$ ($\displaystyle c\ge1$ 또는 $\displaystyle c\le0$이고 $\displaystyle d$는 모든 실수)꼴이다.