자연계열 1번

[논제 1] 자연수 $\displaystyle k$에 대하여$\displaystyle k^4<k(k+1)(k^2+3)<k(k+1)(k^2+4k+4)<(k^2+4k+4)^2\qquad\cdots\cdots$ (A)이므로 $\displaystyle k^2<\sqrt{k(k+1)(k^2+3)}<k^2+4k+4$이고$\displaystyle \frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2<\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)(k^2+3)}<\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k^2+4k+4)$

따라서$\displaystyle \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}<\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)(k^2+3)}<\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}+\frac{2(n+1)}{n^2}+\frac4{n^2}$

이때,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}+\frac{2(n+1)}{n^2}+\frac4{n^2}\right)=\frac13$이고 제시문 (가)에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n\sqrt{k(k+1)(k^2+3)}=\frac13$

[논제 2] 함수 $\displaystyle f(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이고 조건 (1)에 의하여 $\displaystyle f(\alpha)$는 극댓값, $\displaystyle f(\beta)$는 극솟값이며 $\displaystyle f(\alpha)>f(\beta)$이다. 함수 $\displaystyle h(x)=f(x)-f(\beta)$라 하면 $\displaystyle h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)$이고 $\displaystyle h(x)$는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 삼차함수이다. 조건 (1)과 (2)에 의하여$\displaystyle h(x)=x(x-\beta)^2$조건 (3)에 의하여$\displaystyle 108=\int_0^\beta f(x)\,dx-\beta f(\beta)=\int_0^\beta h(x)\,dx=\int_0^\beta x(x-\beta)^2\,dx=\frac1{12}\beta^4$이므로 $\displaystyle \beta=6$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)=x(x-6)^2$

$\displaystyle f(2)>f(6)$이므로 두 극값의 차는 $\displaystyle 32$이다.

[논제 3] 주어진 조건을 만족하는 함수 $\displaystyle f(x)$는$\displaystyle f(x)=x(x-6)^2+f(6)$이고$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-24x+36\qquad\cdots\cdots$ (B)

점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하자. 두 점 $\displaystyle \mathrm{P}(t,f(t)),\mathrm{Q}(3t,f(3t))$를 $\displaystyle 1:3$으로 내분하는 내분점은$\displaystyle \left(\frac{3t+3t}{1+3},\frac{f(3t)+3f(t)}{1+3}\right)=\left(\frac{3t}2,\frac{f(3t)+3f(t)}4\right)$$\displaystyle x=\frac{3t}2$, $\displaystyle y=\frac{f(3t)+3f(t)}4$라 할 때 구하는 곡선의 방정식은$\displaystyle y=\frac14f(2x)+\frac34f\left(\frac23x\right)$따라서 $\displaystyle g(x)=\frac14f(2x)+\frac34f\left(\frac23x\right)$이다.

한편$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac12f^{\prime}(2x)+\frac12f^{\prime}\left(\frac23x\right)$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(2x)+f^{\prime}\left(\frac23x\right)=0$이므로 식 (B)로 부터$\displaystyle (5x-9)(x-3)=0$$\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 갖는다.

$\displaystyle 50=\int_0^2f(x)\,dx=\Biggl[\frac14x^4-4x^3+18x^2+f(6)x\Biggr]_0^2=44+2f(6)$에서 $\displaystyle f(6)=3$이고 극댓값은 $\displaystyle f(2)=35$이다.