자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle 0<t\le2-x$일 때, $\displaystyle f(x)\ge f(t)$이고 $\displaystyle 2-x<t\le x$일 때, $\displaystyle f(x)\le f(t)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}g(x)&=\int_0^{2-x}\{f(x)-f(t)\}\,dt+\int_{2-x}^x\{f(t)-f(x)\}\,dt\\&=f(x)\int_0^{2-x}1\,dt-\int_0^{2-x}f(t)\,dt+\int_{2-x}^xf(t)\,dt-f(x)\int_{2-x}^x1\,dt\\&=f(x)(2-x)-\int_0^{2-x}f(t)\,dt+\int_{2-x}^xf(t)\,dt-f(x)(2x-2)\end{aligned}$

$\displaystyle g^{\prime}(x)=2(x-1)(3x-4)$이고 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle x=\frac43$에서 극값을 갖는다. 따라서 $\displaystyle a=\frac43$이다.

[논제 2] $\displaystyle h^{\prime}(x)=2x(\alpha-x)e^{-\frac{2x}\alpha}$이므로 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle h(x)$의 극솟값은 $\displaystyle h(0)=0$이고 극댓값은 $\displaystyle h(\alpha)=\alpha^3e^{-2}$이다.

(ⅰ) $\displaystyle h(t)>\alpha$인 양의 실수 $\displaystyle t$가 존재하는 경우:$\displaystyle \alpha\notin[h(t),h(t)+\alpha]$이고 닫힌구간 $\displaystyle [h(t),h(t)+\alpha]$에서 $\displaystyle h(x)$는 감소하므로 $\displaystyle k(t)=h(h(t))$이다.$\displaystyle h(\alpha)>\alpha$이므로 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 직선 $\displaystyle y=\alpha$의 두 교점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t_1,t_2$ ($\displaystyle 0<t_1<t_2$)라 하면(그림 1), 열린구간 $\displaystyle (t_1,t_2)$에서 $\displaystyle k(t)=h(h(t))$이고 $\displaystyle k(t)$는 이 구간에서 일정한 값을 갖지 않는다.

(ⅱ) 모든 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle 0\le h(t)\le\alpha$인 경우:$\displaystyle \alpha\in[h(t),h(t)+\alpha]$이므로 $\displaystyle k(t)$는 항상 일정한 값 $\displaystyle h(\alpha)$를 갖는다(그림 2).$\displaystyle h(\alpha)$는 극댓값이므로 $\displaystyle h(\alpha)=\alpha^3e^{-2}\le\alpha$인 모든 $\displaystyle \alpha$에 대하여 함수 $\displaystyle k(t)$는 문제의 조건을 만족시킨다.

따라서 최댓값은 $\displaystyle e$이다.