자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle g(0)=\ell$, $\displaystyle g^{\prime}(0)=\frac23\ell$이므로 $\displaystyle g(x)=x^2+\left(\frac23\ell\right)x+\ell$이다. 판별식 $\displaystyle D=\frac{4\ell(\ell-9)}9$로부터 $\displaystyle \ell\ge10$이면 $\displaystyle F(x)=0$은 서로 다른 실근을 $\displaystyle 3$개 이상 가지게 되므로 $\displaystyle F(x)<0$이 되는 $\displaystyle x$가 존재한다.따라서 $\displaystyle 1\le\ell\le9$.

한편 $\displaystyle F(3)=0$이고 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle F(x)\ge0$이므로 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 극솟값 $\displaystyle 0$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle F^{\prime}(3)=0$이고 $\displaystyle g(3)>0$이므로 $\displaystyle f(x)=(x-3)^2$이고,$\displaystyle F^{\prime}(x)=2x(x-3)(2x-3+\ell)$

(ⅰ) $\displaystyle \ell\ne3$인 경우 : $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=3$, $\displaystyle x=\frac{3-\ell}2$에서 극값을 갖는다. $\displaystyle F(0)$과 $\displaystyle F(3)$은 정수이고, 극값$\displaystyle F\left(\frac{3-\ell}2\right)=-\frac1{48}(\ell-9)(\ell+3)^3$은 $\displaystyle \ell=9$일 때만 정수가 된다.(ⅱ) $\displaystyle \ell=3$인 경우 : $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=3$에서만 극값을 갖고 $\displaystyle F(3)=0$이므로 정수이다.(ⅰ), (ⅱ)에 의해 자연수 $\displaystyle \ell$의 개수는 $\displaystyle 2$

[논제 2] $\displaystyle G^{\prime}(x)=F^{\prime}(x)e^{F(x)}$이고 $\displaystyle e^{F(x)}>0$이므로 두 함수 $\displaystyle G(x)$와 $\displaystyle F(x)$가 극값을 갖는 $\displaystyle x$의 값은 서로 같다. $\displaystyle F(3)=0$이고 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle F(x)\ge0$이므로 $\displaystyle F(x)$는 $\displaystyle x=3$에서 극솟값을 갖는다. 따라서,$\displaystyle F^{\prime}(3)=f^{\prime}(3)g(3)+f(3)g^{\prime}(3)=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(3)g(3)=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(3)=0$ 또는 $\displaystyle g(3)=0$.(ⅰ) $\displaystyle g(3)=0$인 경우 :$\displaystyle f(x)=(x-3)(x-\alpha),\quad g(x)=(x-3)(x-\beta)$라 할 때, $\displaystyle \alpha=3$ 또는 $\displaystyle \beta=3$이면 $\displaystyle F(x)$가 극댓값을 갖지 않는다. 따라서 $\displaystyle \alpha\ne3,\beta\ne3$이다. 또한, $\displaystyle F(x)=0$은 서로 다른 실근을 $\displaystyle 3$개 이상 갖지 않으므로 $\displaystyle \alpha=\beta$이다. 그러나 이 경우 $\displaystyle f(x)=g(x)$이므로 논제의 조건을 만족하는 교점이 존재하지 않는다.(ⅱ) $\displaystyle f^{\prime}(3)=0$인 경우 : $\displaystyle f(x)=(x-3)^2$한편 논제의 조건에 의해 $\displaystyle f^{\prime}(s)g^{\prime}(s)=-1$이고 $\displaystyle f(s)=g(s)$이므로$\displaystyle F^{\prime}(s)=f^{\prime}(s)g(s)+f(s)g^{\prime}(s)=f(s)(f^{\prime}(s)+g^{\prime}(s))=0$$\displaystyle s>3$에 대하여 $\displaystyle f(s)>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(s)+g^{\prime}(s)=0$. 두 식$\displaystyle f^{\prime}(s)g^{\prime}(s)=-1,\quad f^{\prime}(s)+g^{\prime}(s)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(s)>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(s)=2(s-3)=1$에서 $\displaystyle s=\frac72$

$\displaystyle g\left(\frac72\right)=f\left(\frac72\right),\quad g^{\prime}\left(\frac72\right)=-1$에서 $\displaystyle g(x)=x^2-8x+16=(x-4)^2$이므로 $\displaystyle F(x)=(x-3)^2(x-4)^2$이고$\displaystyle F\left(\frac72\right)=\left(\frac72-3\right)^2\left(\frac72-4\right)^2=\frac1{16}.$

그러므로 $\displaystyle G\left(\frac72\right)=e^{\frac1{16}}$.

[논제 3] $\displaystyle b+c=M$라 하면 $\displaystyle -ax^2+b=ax^2-c$에서 $\displaystyle \alpha=-\sqrt{\frac M{2a}}$이고 $\displaystyle \beta=\sqrt{\frac M{2a}}$이므로$\displaystyle \mathrm{A}\left(-\sqrt{\frac M{2a}},\frac{b-c}2\right),\quad\mathrm{B}\left(\sqrt{\frac M{2a}},\frac{b-c}2\right)$$\displaystyle \alpha<t<\beta$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle \mathrm{P}(-t,-at^2+b),\mathrm{Q}(t,at^2-c)$이고 $\displaystyle \beta-\alpha=2\sqrt{\frac M{2a}}$, $\displaystyle \alpha\beta=-\frac M{2a}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\frac12(\beta-\alpha)\left[h(-t)-\frac{b-c}2\right]+\frac12(\beta-\alpha)\left[\frac{b-c}2-k(t)\right]\\&=\sqrt{\frac M{2a}}(-2at^2+M)\end{aligned}$

따라서,$\displaystyle \int_{\alpha/2}^{\beta/2}S(t)\,dt=\sqrt{\frac M{2a}}(\beta-\alpha)\left\{-\frac1{12}a(\beta^2+\alpha^2+\alpha\beta)+\frac M2\right\}$$\displaystyle \beta^2+\alpha^2+\alpha\beta=(\beta-\alpha)^2+3\alpha\beta=\frac M{2a}$이므로$\displaystyle \int_{\alpha/2}^{\beta/2}S(t)\,dt=\frac{11M^2}{24a}$한편 $\displaystyle 22a^2\alpha\beta+33(b+c)=11(3-a)(b+c)$이므로 $\displaystyle \frac{11M^2}{24a}=11(3-a)M$, 즉 $\displaystyle M=24a(3-a)$이다.$\displaystyle M$은 자연수이므로 $\displaystyle a=1,2$이고 $\displaystyle b+c=48$이다.$\displaystyle 0<h(4)-k(4)=-32a+b+c$이므로 $\displaystyle a=1$이고 $\displaystyle h(x)=-x^2+b$이고 $\displaystyle k(x)=x^2-c$이다.

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=3}^{11}h(n)-\sum_{n=1}^9k(n)&=\sum_{n=1}^{11}\{h(n)-k(n)\}-h(1)-h(2)+k(10)+k(11)\\&=\sum_{n=1}^{11}(-2n^2+b+c)-2(b+c)+226=-354\end{aligned}$