자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle g(x)g(x+k)$의 연속성은 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=-k$에서만 살펴보면 된다.(1) $\displaystyle k=0$일 때:$\displaystyle g(x)g(x+0)=\{g(x)\}^2$은$\displaystyle \lim_{x\to0-}\{g(x)\}^2=\lim_{x\to0+}\{g(x)\}^2=\{g(0)\}^2=25$이므로 $\displaystyle x=0$에서 연속이다.

(2) $\displaystyle k\ne0$일 때:(ⅰ) $\displaystyle x=0$에서의 연속성:$\displaystyle \lim_{x\to0-}g(x)g(x+k)=-5g(k),\quad\lim_{x\to0+}g(x)g(x+k)=5g(k),\quad g(0)g(0+k)=5g(k)$이므로 $\displaystyle g(k)=0$이어야 한다.(ⅱ) $\displaystyle x=-k$에서의 연속성:$\displaystyle \lim_{x\to-k-}g(x)g(x+k)=-5g(-k),\quad\lim_{x\to-k+}g(x)g(x+k)=5g(-k),\quad g(-k)g(-k+k)=5g(-k)$이므로 $\displaystyle g(-k)=0$이어야 한다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 $\displaystyle g(k)=0=g(-k)$인 $\displaystyle k$의 값을 구하면 $\displaystyle k=-1-\sqrt6,1+\sqrt6$.따라서 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle k=-1-\sqrt6,0,1+\sqrt6$

[논제 2] $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-3mx+5$는 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x-3m=0$은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle x=1\pm\sqrt{1+m}$을 가진다.$\displaystyle -2<1-\sqrt{1+m}<-\frac12$이므로 $\displaystyle \frac54<m<8$이고, $\displaystyle 1<1+\sqrt{1+m}<3$이므로 $\displaystyle -1<m<3$이다.따라서 $\displaystyle \frac54<m<3$이다. 그러므로 $\displaystyle m=2$이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x+5$이다.

조건 (1)에 의해 $\displaystyle 0\le x\le2$일 때 $\displaystyle h(x)=2x^3-6x^2-12x+10$이므로$\displaystyle \int_0^2h(x)\,dx=-12$

이고 조건 (3)과 (2)에 의해$\displaystyle \int_2^4h(x)\,dx=\int_{-2}^0h(x)\,dx=\int_0^2h(x)\,dx=-12$이므로$\displaystyle \int_0^4h(x)\,dx=-24$

따라서$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{33}h(x)\,dx&=\int_0^{32}h(x)\,dx+\int_{32}^{33}h(x)\,dx\\&=8\int_0^4h(x)\,dx+\int_0^1h(x)\,dx=-\frac{379}2\end{aligned}$