자연계열 2번

단국대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2024mo/jayeon_2

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라 한다.(ⅰ) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(ⅱ) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(ⅲ) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 위의 세 조건 중에서 어느 하나라도 만족시키지 않으면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 불연속이라 한다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x=a$ 를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여(ⅰ) $\displaystyle f(x)\le f(a)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대가 된다고 하고, $\displaystyle f(a)$ 를 극댓값이라 한다.(ⅱ) $\displaystyle f(x)\ge f(a)$ 일 때, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소가 된다고 하고, $\displaystyle f(a)$ 를 극솟값이라 한다.

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle a,b$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $\displaystyle f(x)$ 의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$ 라 하면 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle b$ 까지의 정적분은 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\Biggl[F(x)\Biggr]_a^b=F(b)-F(a)$

∙함수 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-3mx+5$ 라 하자. (단, $\displaystyle m$ 은 자연수)

[논제 1] $\displaystyle m=1$ 일 때, 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle g(x)=\begin{cases}-\frac12(x^3-9x+10)&(x<0)\\f(x)e^x&(x\ge0)\end{cases}$ 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)g(x+k)$ 가 연속이 되도록 하는 실수 $\displaystyle k$ 의 값을 모두 구하시오. (20점)

[논제 2] 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 와 $\displaystyle x=b$ 에서 극값을 갖는다. (단, $\displaystyle -2<a<-\frac12$ 이고 $\displaystyle 1<b<3$ )실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 다음 조건을 만족시킨다.

(1) $\displaystyle 0\le x\le2$ 에서 $\displaystyle h(x)=2f(x)$ (2) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h(-x)=h(x)$ (3) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle h(x+4)=h(x)$

정적분 $\displaystyle \int_0^{33}h(x)\,dx$ 의 값을 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

단국대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2024mo/jayeon_2

+4점 ·

\displaystyle k=0

일 때의 연속성을 제시

[논제 1] $\displaystyle g(x)g(x+k)$ 의 연속성은 $\displaystyle x=0$ 과 $\displaystyle x=-k$ 에서만 살펴보면 된다.(1) $\displaystyle k=0$ 일 때: $\displaystyle g(x)g(x+0)=\{g(x)\}^2$ 은 $\displaystyle \lim_{x\to0-}\{g(x)\}^2=\lim_{x\to0+}\{g(x)\}^2=\{g(0)\}^2=25$ 이므로 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이다.

+12점 ·

\displaystyle k\ne0

일 때의 연속성을 제시

(2) $\displaystyle k\ne0$ 일 때:(ⅰ) $\displaystyle x=0$ 에서의 연속성: $\displaystyle \lim_{x\to0-}g(x)g(x+k)=-5g(k),\quad\lim_{x\to0+}g(x)g(x+k)=5g(k),\quad g(0)g(0+k)=5g(k)$ 이므로 $\displaystyle g(k)=0$ 이어야 한다.(ⅱ) $\displaystyle x=-k$ 에서의 연속성: $\displaystyle \lim_{x\to-k-}g(x)g(x+k)=-5g(-k),\quad\lim_{x\to-k+}g(x)g(x+k)=5g(-k),\quad g(-k)g(-k+k)=5g(-k)$ 이므로 $\displaystyle g(-k)=0$ 이어야 한다.

+4점 · 정답을 제시

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의해 $\displaystyle g(k)=0=g(-k)$ 인 $\displaystyle k$ 의 값을 구하면 $\displaystyle k=-1-\sqrt6,1+\sqrt6$ .따라서 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle k=-1-\sqrt6,0,1+\sqrt6$

+5점 ·

\displaystyle m=2

를 제시

[논제 2] $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-3mx+5$ 는 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-6x-3m=0$ 은 서로 다른 두 실근 $\displaystyle x=1\pm\sqrt{1+m}$ 을 가진다. $\displaystyle -2<1-\sqrt{1+m}<-\frac12$ 이므로 $\displaystyle \frac54<m<8$ 이고, $\displaystyle 1<1+\sqrt{1+m}<3$ 이므로 $\displaystyle -1<m<3$ 이다.따라서 $\displaystyle \frac54<m<3$ 이다. 그러므로 $\displaystyle m=2$ 이고 $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x+5$ 이다.

+5점 ·

\displaystyle \int_0^2h(x)\,dx=-12

를 제시

조건 (1)에 의해 $\displaystyle 0\le x\le2$ 일 때 $\displaystyle h(x)=2x^3-6x^2-12x+10$ 이므로 $\displaystyle \int_0^2h(x)\,dx=-12$

+9점 ·

\displaystyle \int_0^4h(x)\,dx=-24

를 제시

이고 조건 (3)과 (2)에 의해 $\displaystyle \int_2^4h(x)\,dx=\int_{-2}^0h(x)\,dx=\int_0^2h(x)\,dx=-12$ 이므로 $\displaystyle \int_0^4h(x)\,dx=-24$

+6점 · 정답을 제시

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{33}h(x)\,dx&=\int_0^{32}h(x)\,dx+\int_{32}^{33}h(x)\,dx\\&=8\int_0^4h(x)\,dx+\int_0^1h(x)\,dx=-\frac{379}2\end{aligned}$

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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