자연계열 1번

[논제 1] 함수 $\displaystyle h(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 극한값이 존재한다. $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}f(x)=0$이므로 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=\alpha$에서 극한값을 가지기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}\sin x=0$이어야 한다.

$\displaystyle \sin\alpha=\lim_{x\to\alpha}\sin x=0$이므로 $\displaystyle \alpha=\pi$ 또는 $\displaystyle \alpha=-\pi$이다.$\displaystyle \alpha=\pi$인 경우 : $\displaystyle f(x)=x^2-\pi x$이고$\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\,dx=\int_{-2\pi}^{2\pi}(x^2-\pi x)\sin x\,dx=-\pi\int_{-2\pi}^{2\pi}x\sin x\,dx=4\pi^2$$\displaystyle \alpha=-\pi$인 경우 : $\displaystyle f(x)=x^2+\pi x$이고$\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\,dx=\int_{-2\pi}^{2\pi}(x^2+\pi x)\sin x\,dx=-4\pi^2$그러므로 구하려는 답은 $\displaystyle 4\pi^2$, $\displaystyle -4\pi^2$

[논제 2] 조건 (1), (2), (3)으로부터$\displaystyle f(x)=x^2-\alpha x,\quad g(x)=-x^2+\beta x$이다.$\displaystyle A=\int_0^t(g(x)-f(x))\,dx,\quad B=\int_t^{2t}(f(x)-g(x))\,dx$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\frac{125}6&=\int_t^{2t}(f(x)-g(x))\,dx-\int_0^t(g(x)-f(x))\,dx\\&=\int_0^{2t}(f(x)-g(x))\,dx\\&=\int_0^{2t}(2x^2-(\alpha+\beta)x)\,dx=\frac{16}3t^3-2(\alpha+\beta)t^2\end{aligned}$이다.

한편 조건 (3)으로부터 $\displaystyle t^2-\alpha t=-t^2+\beta t$에서 $\displaystyle t=\frac{\alpha+\beta}2$이다. 따라서$\displaystyle \frac{125}6=\frac{16}3\times\frac{(\alpha+\beta)^3}8-2(\alpha+\beta)\times\frac{(\alpha+\beta)^2}4=\frac{(\alpha+\beta)^3}6$로부터 $\displaystyle \alpha+\beta=5$이다.

그러므로$\displaystyle \sum_{k=1}^n(f(k)-g(k))=\sum_{k=1}^n(2k^2-5k)=2\times\frac{n(n+1)(2n+1)}6-5\times\frac{n(n+1)}2\le5n(n+1)$에서 $\displaystyle 2(2n+1)-15\le30$이므로 자연수 $\displaystyle n$의 최댓값은 $\displaystyle 10$이다. 그러므로 구하려는 답은 $\displaystyle 10$

[논제 3] 조건 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle f(x)=x^2-\alpha x$이다. $\displaystyle i=1,2,3,4,5$에 대해$\displaystyle \lim_{x\to a_i-}s(x)=2i-7,\quad s(a_i)=2i-7,\quad\lim_{x\to a_i+}s(x)=2i-5$이다(그림 참조). 함수 $\displaystyle v(x)=f(\sin x)s(x)$가 $\displaystyle x=a_i$에서 연속이므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to a_i-}f(\sin x)s(x)&=((\sin a_i)^2-\alpha\sin a_i)(2i-7)\\&=\lim_{x\to a_i+}f(\sin x)s(x)=((\sin a_i)^2-\alpha\sin a_i)(2i-5)\end{aligned}$이고 따라서$\displaystyle \sin a_i=0\quad$ 또는 $\displaystyle \quad\sin a_i=\alpha\quad\cdots\cdots$ (*)이다.

$\displaystyle -1\le\sin a_i\le1$이므로$\displaystyle \sum_{i=1}^3s(a_i)\sin a_i=-5\sin a_1-3\sin a_2-\sin a_3=9$를 만족시키려면 $\displaystyle \sin a_1=\sin a_2=\sin a_3=-1$이어야 한다. 따라서 (*)로부터 구하려는 답은 $\displaystyle -1$