자연계열 1번

단국대 2025학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/dankook/2025mo/jayeon_1

[문제1] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (55점)

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라 한다.(ⅰ) 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(ⅱ) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하고 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

(나) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 미분가능할 때, $\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$

(다) 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x),y=g(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

두 이차함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(1) $\displaystyle f(x)$ 의 이차항의 계수는 $\displaystyle 1$ 이고, $\displaystyle g(x)$ 의 이차항의 계수는 $\displaystyle -1$ 이다.(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 의 실근은 $\displaystyle 0,\alpha$ 이다. (단, $\displaystyle \alpha\ne0$ )(3) 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 의 교점은 원점과 $\displaystyle (t,f(t))$ 이다. (단, $\displaystyle t>0$ )

[논제 1] $\displaystyle -2\pi<\alpha<2\pi$ 라 하자. 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 실수 전체의 집합에서 연속이고, $\displaystyle x\ne0,x\ne\alpha$ 일 때 $\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{f(x)}$ 이다. $\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\,dx$ 의 값을 모두 구하시오. (15점)

[논제 2] 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 $\displaystyle y=g(x)$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle A$ 라 하고, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 와 두 직선 $\displaystyle x=t$ , $\displaystyle x=2t$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle B$ 라 하자. $\displaystyle B-A=\frac{125}6$ 일 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^n\{f(k)-g(k)\}\le5n(n+1)$ 인 자연수 $\displaystyle n$ 의 최댓값을 구하시오. (20점)

[논제 3] 함수 $\displaystyle u(x)=\begin{cases}-1&(x\le0)\\1&(x>0)\end{cases}$ 와 상수 $\displaystyle a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (단, $\displaystyle a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ )에 대하여 $\displaystyle s(x)=\sum_{i=1}^5u(x-a_i)$ 라 하자. 함수 $\displaystyle v(x)=f(\sin x)s(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^3s(a_i)\sin a_i=9$ 일 때, $\displaystyle \alpha$ 의 값을 구하시오. (20점)

해설강의 준비중

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+5점 ·

\displaystyle h(x)

가

\displaystyle x=\alpha

에서 극한값을 가져야 함을 제시

[논제 1] 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle h(x)$ 는 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극한값이 존재한다. $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}f(x)=0$ 이므로 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 극한값을 가지기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha}\sin x=0$ 이어야 한다.

+4점 ·

\displaystyle f(x)=x^2\pm\pi x

임을 제시

$\displaystyle \sin\alpha=\lim_{x\to\alpha}\sin x=0$ 이므로 $\displaystyle \alpha=\pi$ 또는 $\displaystyle \alpha=-\pi$ 이다. $\displaystyle \alpha=\pi$ 인 경우 : $\displaystyle f(x)=x^2-\pi x$ 이고 $\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\,dx=\int_{-2\pi}^{2\pi}(x^2-\pi x)\sin x\,dx=-\pi\int_{-2\pi}^{2\pi}x\sin x\,dx=4\pi^2$ $\displaystyle \alpha=-\pi$ 인 경우 : $\displaystyle f(x)=x^2+\pi x$ 이고 $\displaystyle \int_{-2\pi}^{2\pi}f(x)\sin x\,dx=\int_{-2\pi}^{2\pi}(x^2+\pi x)\sin x\,dx=-4\pi^2$

+6점 · 정답을 제시

그러므로 구하려는 답은 $\displaystyle 4\pi^2$ , $\displaystyle -4\pi^2$

+5점 ·

\displaystyle \int_0^{2t}(f(x)-g(x))\,dx=\frac{125}6

임을 제시

[논제 2] 조건 (1), (2), (3)으로부터 $\displaystyle f(x)=x^2-\alpha x,\quad g(x)=-x^2+\beta x$ 이다. $\displaystyle A=\int_0^t(g(x)-f(x))\,dx,\quad B=\int_t^{2t}(f(x)-g(x))\,dx$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\frac{125}6&=\int_t^{2t}(f(x)-g(x))\,dx-\int_0^t(g(x)-f(x))\,dx\\&=\int_0^{2t}(f(x)-g(x))\,dx\\&=\int_0^{2t}(2x^2-(\alpha+\beta)x)\,dx=\frac{16}3t^3-2(\alpha+\beta)t^2\end{aligned}$ 이다.

+7점 ·

\displaystyle t=\frac52

임을 제시

한편 조건 (3)으로부터 $\displaystyle t^2-\alpha t=-t^2+\beta t$ 에서 $\displaystyle t=\frac{\alpha+\beta}2$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{125}6=\frac{16}3\times\frac{(\alpha+\beta)^3}8-2(\alpha+\beta)\times\frac{(\alpha+\beta)^2}4=\frac{(\alpha+\beta)^3}6$ 로부터 $\displaystyle \alpha+\beta=5$ 이다.

+8점 · 정답을 제시

그러므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^n(f(k)-g(k))=\sum_{k=1}^n(2k^2-5k)=2\times\frac{n(n+1)(2n+1)}6-5\times\frac{n(n+1)}2\le5n(n+1)$ 에서 $\displaystyle 2(2n+1)-15\le30$ 이므로 자연수 $\displaystyle n$ 의 최댓값은 $\displaystyle 10$ 이다. 그러므로 구하려는 답은 $\displaystyle 10$

+6점 ·

\displaystyle s(a_1)=-5,\ s(a_2)=-3,\ s(a_3)=-1

임을 제시

[논제 3] 조건 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle f(x)=x^2-\alpha x$ 이다. $\displaystyle i=1,2,3,4,5$ 에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to a_i-}s(x)=2i-7,\quad s(a_i)=2i-7,\quad\lim_{x\to a_i+}s(x)=2i-5$ 이다(그림 참조).

+6점 · 함수

\displaystyle v(x)

가 연속일 조건이

\displaystyle \sin a_i=0

또는

\displaystyle \sin a_i=\alpha

임을 제시

함수 $\displaystyle v(x)=f(\sin x)s(x)$ 가 $\displaystyle x=a_i$ 에서 연속이므로 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to a_i-}f(\sin x)s(x)&=((\sin a_i)^2-\alpha\sin a_i)(2i-7)\\&=\lim_{x\to a_i+}f(\sin x)s(x)=((\sin a_i)^2-\alpha\sin a_i)(2i-5)\end{aligned}$ 이고 따라서 $\displaystyle \sin a_i=0\quad$ 또는 $\displaystyle \quad\sin a_i=\alpha\quad\cdots\cdots$ (*)이다.

+5점 ·

\displaystyle \sin a_1=\sin a_2=\sin a_3=-1

임을 제시

$\displaystyle -1\le\sin a_i\le1$ 이므로 $\displaystyle \sum_{i=1}^3s(a_i)\sin a_i=-5\sin a_1-3\sin a_2-\sin a_3=9$ 를 만족시키려면 $\displaystyle \sin a_1=\sin a_2=\sin a_3=-1$ 이어야 한다.

+3점 · 정답을 제시

따라서 (*)로부터 구하려는 답은 $\displaystyle -1$

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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