자연계열 2번

[논제 1] 점 $\displaystyle \mathrm{P}(x,0)$으로부터 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$, 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$까지의 거리를 생각하여$\displaystyle m(x)=\begin{cases}\frac{x+2}{\sqrt2}&(-2\le x<\sqrt2-2)\\1&(\sqrt2-2\le x<2-\sqrt2)\\\frac{2-x}{\sqrt2}&(2-\sqrt2\le x\le2)\end{cases}$를 얻는다.

따라서$\displaystyle \lim_{x\to\sqrt2-2+}\frac{m(x)-m(\sqrt2-2)}{x-(\sqrt2-2)}=0,\quad\lim_{x\to\sqrt2-2-}\frac{m(x)-m(\sqrt2-2)}{x-(\sqrt2-2)}=\frac1{\sqrt2}$이고$\displaystyle \lim_{x\to2-\sqrt2+}\frac{m(x)-m(2-\sqrt2)}{x-(2-\sqrt2)}=-\frac1{\sqrt2},\quad\lim_{x\to2-\sqrt2-}\frac{m(x)-m(2-\sqrt2)}{x-(2-\sqrt2)}=0$이다. 그러므로 구하려는 답은 $\displaystyle \sqrt2-2$와 $\displaystyle 2-\sqrt2$

[논제 2] $\displaystyle f(x)=mx+n$이라 하면 $\displaystyle F(x)=(mx+2m+n)|x|e^x+|mx+n|e^{mx+n}h(x)$이다.$\displaystyle G(x)=(mx+2m+n)|x|e^x,$$\displaystyle H(x)=|mx+n|e^{mx+n}h(x)$라 하자. $\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle G(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle H(x)$도 실수 전체의 집합에서 연속이다. 그런데 $\displaystyle k\ne-\frac nm$이면 $\displaystyle H(x)$가 $\displaystyle x=k$에서 불연속이 되므로 $\displaystyle k=-\frac nm$이다.$\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle H(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로 $\displaystyle G(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하다.$\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{G(x)-G(0)}x=\lim_{x\to0+}(mx+2m+n)e^x=2m+n,$$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{G(x)-G(0)}x=-\lim_{x\to0-}(mx+2m+n)e^x=-(2m+n)$이므로 $\displaystyle 2m+n=-(2m+n)$으로부터 $\displaystyle 2m+n=0$이다.

$\displaystyle F(x)$와 $\displaystyle G(x)$가 $\displaystyle x=-\frac nm=2$에서 미분가능하므로 $\displaystyle H(x)=|mx-2m|e^{mx-2m}h(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 미분가능하다. $\displaystyle k=-\frac nm=2$이므로$\displaystyle \lim_{x\to2+}\frac{H(x)-H(2)}{x-2}=\lim_{x\to2+}|m|e^{mx-2m}9e^2=9e^2|m|,$$\displaystyle \lim_{x\to2-}\frac{H(x)-H(2)}{x-2}=-\lim_{x\to2-}|m|e^{mx-2m}a=-a|m|$이고, $\displaystyle 9e^2|m|=-a|m|$으로부터 $\displaystyle a=-9e^2$이다.

$\displaystyle F^{\prime}(2)=G^{\prime}(2)+H^{\prime}(2)=8e^2m+9e^2|m|=17e^2$으로부터 $\displaystyle m=1$ 또는 $\displaystyle m=-17$이다.(i) $\displaystyle m=1$인 경우$\displaystyle f(x)=x-2$이고, $\displaystyle f(a+k)=f(-9e^2+2)=-9e^2$이다.(ii) $\displaystyle m=-17$인 경우$\displaystyle f(x)=-17x+34$이고, $\displaystyle f(a+k)=f(-9e^2+2)=153e^2$이다.

(i)과 (ii)로부터 구하려는 답은 $\displaystyle -9e^2$과 $\displaystyle 153e^2$