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자연계열 2번

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단국대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2025mo/jayeon_2

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문제

[문제2] 다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오. (45점)

(가) 좌표평면 위의 두 점 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm{A}(x_1,y_1), B(x2,y2)\displaystyle \mathrm{B}(x_2,y_2)사이의 거리는AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}점 P(x1,y1)\displaystyle \mathrm{P}(x_1,y_1)과 점 P\displaystyle \mathrm{P}를 지나지 않는 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 (a≠0\displaystyle a\ne0 또는 b≠0\displaystyle b\ne0)사이의 거리는∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(나) 실수 L\displaystyle L에 대하여lim⁡x→af(x)=L ⇔ lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a−f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\ \Leftrightarrow\ \lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)=L

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 미분가능할 때, f(x)\displaystyle f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 미분계수는f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하면 f(x)+g(x)\displaystyle f(x)+g(x)도 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하다.

[논제 1] 좌표평면에 네 점 A(−2,0)\displaystyle \mathrm{A}(-2,0), B(−1,1)\displaystyle \mathrm{B}(-1,1), C(1,1)\displaystyle \mathrm{C}(1,1), D(2,0)\displaystyle \mathrm{D}(2,0)을 꼭짓점으로 하는 사다리꼴 ABCD\displaystyle \mathrm{ABCD}가 있다. 선분 AD\displaystyle \mathrm{AD} 위의 점 P(x,0)\displaystyle \mathrm{P}(x,0)으로부터 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}, 선분 BC\displaystyle \mathrm{BC}, 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}까지의 거리 중 가장 작은 값을 m(x)\displaystyle m(x)라 하자.다음 조건을 만족시키는 실수 a\displaystyle a의 값을 모두 구하시오. (20점)

(1) −2<a<2\displaystyle -2<a<2(2) 함수 m(x)\displaystyle m(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하지 않다.

[논제 2] 상수항이 0\displaystyle 0이 아닌 일차함수 f(x)\displaystyle f(x),g(x)=∣x∣ex,\displaystyle g(x)=|x|e^x,h(x)={a(x<k)9e2(x≥k)\displaystyle h(x)=\begin{cases}a&(x<k)\\9e^2&(x\ge k)\end{cases} (단, a,k\displaystyle a,k는 상수이고 a≠9e2\displaystyle a\ne9e^2)에 대하여 함수F(x)=f(x+2)g(x)+g(f(x))h(x)\displaystyle F(x)=f(x+2)g(x)+g(f(x))h(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.F′(k)=17e2\displaystyle F^{\prime}(k)=17e^2일 때 f(a+k)\displaystyle f(a+k)의 값을 모두 구하시오. (25점)

해설강의 준비중

단국대 2025학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dankook/2025mo/jayeon_2

+12점 · 함수 m(x)\displaystyle m(x)를 제시

[논제 1] 점 P(x,0)\displaystyle \mathrm{P}(x,0)으로부터 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}, 선분 BC\displaystyle \mathrm{BC}, 선분 CD\displaystyle \mathrm{CD}까지의 거리를 생각하여m(x)={x+22(−2≤x<2−2)1(2−2≤x<2−2)2−x2(2−2≤x≤2)\displaystyle m(x)=\begin{cases}\frac{x+2}{\sqrt2}&(-2\le x<\sqrt2-2)\\1&(\sqrt2-2\le x<2-\sqrt2)\\\frac{2-x}{\sqrt2}&(2-\sqrt2\le x\le2)\end{cases}를 얻는다.

+8점 · 정답을 제시

따라서lim⁡x→2−2+m(x)−m(2−2)x−(2−2)=0,lim⁡x→2−2−m(x)−m(2−2)x−(2−2)=12\displaystyle \lim_{x\to\sqrt2-2+}\frac{m(x)-m(\sqrt2-2)}{x-(\sqrt2-2)}=0,\quad\lim_{x\to\sqrt2-2-}\frac{m(x)-m(\sqrt2-2)}{x-(\sqrt2-2)}=\frac1{\sqrt2}이고lim⁡x→2−2+m(x)−m(2−2)x−(2−2)=−12,lim⁡x→2−2−m(x)−m(2−2)x−(2−2)=0\displaystyle \lim_{x\to2-\sqrt2+}\frac{m(x)-m(2-\sqrt2)}{x-(2-\sqrt2)}=-\frac1{\sqrt2},\quad\lim_{x\to2-\sqrt2-}\frac{m(x)-m(2-\sqrt2)}{x-(2-\sqrt2)}=0이다. 그러므로 구하려는 답은 2−2\displaystyle \sqrt2-2와 2−2\displaystyle 2-\sqrt2

+7점 · k=2\displaystyle k=2임을 제시

[논제 2] f(x)=mx+n\displaystyle f(x)=mx+n이라 하면 F(x)=(mx+2m+n)∣x∣ex+∣mx+n∣emx+nh(x)\displaystyle F(x)=(mx+2m+n)|x|e^x+|mx+n|e^{mx+n}h(x)이다.G(x)=(mx+2m+n)∣x∣ex,\displaystyle G(x)=(mx+2m+n)|x|e^x,H(x)=∣mx+n∣emx+nh(x)\displaystyle H(x)=|mx+n|e^{mx+n}h(x)라 하자. F(x)\displaystyle F(x)와 G(x)\displaystyle G(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 H(x)\displaystyle H(x)도 실수 전체의 집합에서 연속이다. 그런데 k≠−nm\displaystyle k\ne-\frac nm이면 H(x)\displaystyle H(x)가 x=k\displaystyle x=k에서 불연속이 되므로 k=−nm\displaystyle k=-\frac nm이다.F(x)\displaystyle F(x)와 H(x)\displaystyle H(x)가 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하므로 G(x)\displaystyle G(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 미분가능하다.lim⁡x→0+G(x)−G(0)x=lim⁡x→0+(mx+2m+n)ex=2m+n,\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{G(x)-G(0)}x=\lim_{x\to0+}(mx+2m+n)e^x=2m+n,lim⁡x→0−G(x)−G(0)x=−lim⁡x→0−(mx+2m+n)ex=−(2m+n)\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{G(x)-G(0)}x=-\lim_{x\to0-}(mx+2m+n)e^x=-(2m+n)이므로 2m+n=−(2m+n)\displaystyle 2m+n=-(2m+n)으로부터 2m+n=0\displaystyle 2m+n=0이다.

+8점 · a=−9e2\displaystyle a=-9e^2임을 제시

F(x)\displaystyle F(x)와 G(x)\displaystyle G(x)가 x=−nm=2\displaystyle x=-\frac nm=2에서 미분가능하므로 H(x)=∣mx−2m∣emx−2mh(x)\displaystyle H(x)=|mx-2m|e^{mx-2m}h(x)는 x=2\displaystyle x=2에서 미분가능하다. k=−nm=2\displaystyle k=-\frac nm=2이므로lim⁡x→2+H(x)−H(2)x−2=lim⁡x→2+∣m∣emx−2m9e2=9e2∣m∣,\displaystyle \lim_{x\to2+}\frac{H(x)-H(2)}{x-2}=\lim_{x\to2+}|m|e^{mx-2m}9e^2=9e^2|m|,lim⁡x→2−H(x)−H(2)x−2=−lim⁡x→2−∣m∣emx−2ma=−a∣m∣\displaystyle \lim_{x\to2-}\frac{H(x)-H(2)}{x-2}=-\lim_{x\to2-}|m|e^{mx-2m}a=-a|m|이고, 9e2∣m∣=−a∣m∣\displaystyle 9e^2|m|=-a|m|으로부터 a=−9e2\displaystyle a=-9e^2이다.

+5점 · f(x)\displaystyle f(x)의 일차항의 계수가 양수인 경우 또는 음수인 경우의 답을 제시

F′(2)=G′(2)+H′(2)=8e2m+9e2∣m∣=17e2\displaystyle F^{\prime}(2)=G^{\prime}(2)+H^{\prime}(2)=8e^2m+9e^2|m|=17e^2으로부터 m=1\displaystyle m=1 또는 m=−17\displaystyle m=-17이다.(i) m=1\displaystyle m=1인 경우f(x)=x−2\displaystyle f(x)=x-2이고, f(a+k)=f(−9e2+2)=−9e2\displaystyle f(a+k)=f(-9e^2+2)=-9e^2이다.(ii) m=−17\displaystyle m=-17인 경우f(x)=−17x+34\displaystyle f(x)=-17x+34이고, f(a+k)=f(−9e2+2)=153e2\displaystyle f(a+k)=f(-9e^2+2)=153e^2이다.

+5점 · 정답을 제시

(i)과 (ii)로부터 구하려는 답은 −9e2\displaystyle -9e^2과 153e2\displaystyle 153e^2

예시 답안의 내용 및 평가 기준의 내용과는 일치하지 않더라도 기술한 내용이 논리적으로 타당한 경우에는 평가위원의 판단에 따라 부분 점수를 부여할 수 있음.

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