자연계열 1번

$\displaystyle \int_{x-\alpha}^xtg(t)\,dt=f(x)$의 양변을 $\displaystyle x$로 미분하면,$\displaystyle xg(x)-(x-\alpha)g(x-\alpha)=f^{\prime}(x)=\alpha k\cos(kx)\quad\cdots$ ①

[논제 1] 식 ①에 $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle \alpha g(-\alpha)=\alpha k$이고 $\displaystyle g(-\alpha)=-g(\alpha)=3\pi$이므로, $\displaystyle k=3\pi$이다.식 ①에 $\displaystyle x=\alpha$를 대입하면 $\displaystyle \alpha g(\alpha)=3\pi\alpha\cos(3\pi\alpha)$이므로 $\displaystyle \cos(3\pi\alpha)=-1$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha=\frac13,1,\frac53$

[논제 2] $\displaystyle x_n=\frac{2\pi}k+n\alpha$ ($\displaystyle n=1,2,3,\cdots$)라 하면 $\displaystyle x_n-\alpha=\frac{2\pi}k+(n-1)\alpha=x_{n-1}$이므로, 식 ①은$\displaystyle a_n-a_{n-1}=x_ng(x_n)-x_{n-1}g(x_{n-1})=\alpha k\cos(kx_n)$조건 $\displaystyle \alpha k=\pi$로부터, $\displaystyle a_n-a_{n-1}=\alpha k\cos(2\pi+n\alpha k)=\pi\cos(2\pi+n\pi)=(-1)^n\pi$따라서$\displaystyle a_2=a_1+\pi,\ a_3=a_1,\ a_4=a_1+\pi,\ a_5=a_1,\cdots,\ a_{10}=a_1+\pi,\ a_{11}=a_1$에서 $\displaystyle a_{11}-a_2=-\pi$

[논제 3] $\displaystyle x-t=s$로 치환하면$\displaystyle h(x)=-f(x)+\int_0^x(2x-s)g(s)\,ds=-f(x)+2x\int_0^xg(s)\,ds-\int_0^xsg(s)\,ds$따라서$\displaystyle h^{\prime}(x)=-ak\cos(kx)+2\int_0^xg(s)\,ds+xg(x)$Correction. $\displaystyle ak$는 $\displaystyle \alpha k$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.조건 $\displaystyle g(\alpha)=-\frac\pi\alpha$과 식 ①로부터$\displaystyle 2\alpha g(2\alpha)=\alpha g(\alpha)+\alpha k\cos(2\alpha k)=-\pi+\alpha k\cos(2\alpha k)$이고, $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=2\alpha$에서 극값을 가지므로$\displaystyle 0=h^{\prime}(2\alpha)=-\alpha k\cos(2\alpha k)+2\int_0^{2\alpha}g(s)\,ds+2\alpha g(2\alpha)=2\int_0^{2\alpha}g(s)\,ds-\pi$그러므로 $\displaystyle \int_0^{2\alpha}g(t)\,dt=\frac\pi2$