자연계열 2번

[논제 1] 실수 $\displaystyle t$의 구간을 $\displaystyle t<0$, $\displaystyle t\ge2$, $\displaystyle 0\le t<2$의 경우로 나누어 $\displaystyle g(t)$를 구하자.

(ⅰ) $\displaystyle t<0$일 때, $\displaystyle f(x)=xe^{2x}-e^{2x}+e^t$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{2x}+2xe^{2x}-2e^{2x}=e^{2x}(2x-1)$따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac12$에서 최솟값 $\displaystyle g(t)=e^t-\frac12e$를 갖는다.

(ⅱ) $\displaystyle t\ge2$일 때, $\displaystyle f(x)=xe^{2x}+e^{2x}-e^t$이고, $\displaystyle f^{\prime}(x)=e^{2x}+2xe^{2x}+2e^{2x}=e^{2x}(2x+3)$따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 최솟값 $\displaystyle g(t)=1-e^t$을 갖는다.

(ⅲ) $\displaystyle 0\le t<2$일 때,• 구간 $\displaystyle \frac t2\le x\le1$에서 $\displaystyle f(x)$는 경우 (ⅰ)와 같이 최솟값 $\displaystyle e^t-\frac12e$를 갖고,Caution. 최댓값·최솟값을 구할 때는 주어진 범위 밖의 값을 제외해야 한다: $\displaystyle 1<t<2$이면 $\displaystyle \frac12<\frac t2$이므로 $\displaystyle x=\frac12$는 구간 $\displaystyle [\frac t2,1]$ 밖이다. 이 구간에서 함수는 증가하므로 최솟값은 $\displaystyle x=\frac t2$에서의 $\displaystyle \frac t2e^t$이다. 다만 전체 구간 $\displaystyle [0,1]$의 최솟값은 여전히 $\displaystyle g(t)=1-e^t$이므로 최종 답은 달라지지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.• 구간 $\displaystyle 0\le x<\frac t2$에서 $\displaystyle f(x)$는 경우 (ⅱ)와 같이 최솟값 $\displaystyle 1-e^t$을 갖는다.

$\displaystyle e^t-\frac12e$과 $\displaystyle 1-e^t$의 크기 비교해 보자. $\displaystyle e^t-\frac12e\ge1-e^t$의 필요충분조건은 $\displaystyle t\ge\ln\left(\frac{2+e}4\right)$이므로, $\displaystyle \alpha=\ln\left(\frac{2+e}4\right)$라 할 때, $\displaystyle 0\le t<\alpha$이면 $\displaystyle g(t)=e^t-\frac12e$이고, $\displaystyle \alpha\le t<2$이면 $\displaystyle g(t)=1-e^t$

그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여$\displaystyle g(x)=\begin{cases}e^x-\frac12e&x<\alpha\\1-e^x&x\ge\alpha\end{cases}$따라서$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\frac{g(\alpha+\Delta x)-g(\alpha)}{\Delta x}=e^\alpha,\quad\lim_{\Delta x\to0+}\frac{g(\alpha+\Delta x)-g(\alpha)}{\Delta x}=-e^\alpha$로부터 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\ln\left(\frac{2+e}4\right)$에서 미분가능하지 않다. 구하는 값: $\displaystyle a=\ln\left(\frac{2+e}4\right)$

[논제 2] $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle h(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{1+\{g(x)-k\}^{2n}}=\begin{cases}0&|g(x)-k|>1\\\frac12&|g(x)-k|=1\\1&|g(x)-k|<1\end{cases}$이므로 $\displaystyle h(x)$가 불연속이 되는 $\displaystyle x$좌표는 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=k+1$과의 교점의 $\displaystyle x$좌표나 곡선 $\displaystyle y=g(x)$와 직선 $\displaystyle y=k-1$과의 교점의 $\displaystyle x$좌표와 같다. 따라서 $\displaystyle h(x)$가 불연속이 되는 $\displaystyle x$의 값이 $\displaystyle 3$개인 경우는, 그림에서와 같이, 직선 $\displaystyle y=k+1$이 직선 $\displaystyle y=g\left(\ln\left(\frac{2+e}4\right)\right)$의 아래와 직선 $\displaystyle y=-\frac e2$의 위에 있을 때이다. $\displaystyle g\left(\ln\left(\frac{2+e}4\right)\right)=\frac12-\frac e4$이므로 구하는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle -1-\frac e2<k<-\frac12-\frac e4$