자연계열 1번

[논제 1] $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(\beta x)}{(2x)^\alpha}=\gamma\ne0$에서 분자가 $\displaystyle 3$차식이므로 분모도 $\displaystyle 3$차식. 따라서 $\displaystyle \alpha=3$마찬가지로 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(-x)f(\alpha x)}{x^\beta}=\gamma\ne0$에서 분자가 $\displaystyle 6$차식이므로 $\displaystyle \beta=6$. $\displaystyle \gamma=\lim_{x\to\infty}\frac{f(6x)}{(2x)^3}=-27$

[논제 2] $\displaystyle f^{\prime}(-3)=-9$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선 $\displaystyle y=\ell(x)$는$\displaystyle y=-9(x+3)+f(-3)=-9x-27$직선 $\displaystyle y=\ell(x)$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -x^3-3x^2=-9x-27$에서 $\displaystyle x=-3$, $\displaystyle x=3$모든 $\displaystyle x\in[-3,3]$에 대하여 $\displaystyle f(x)-\ell(x)=-x^3-3x^2+9x+27=-(x+3)^2(x-3)\ge0$이므로$\displaystyle S=\int_{-3}^3\{f(x)-\ell(x)\}\,dx=\int_{-3}^3\{f(x)-p\}\,dx$따라서 $\displaystyle \int_{-3}^3(-p)\,dx=\int_{-3}^3(9x+27)\,dx=\int_{-3}^327\,dx$에서 $\displaystyle p=-27$

[논제 3] 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(a,f(a))$를 지나고 기울기 $\displaystyle m$ ($\displaystyle m>0$)인 직선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=m(x-a)$이고 이 직선이 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축과 만나는 점은 각각 $\displaystyle \mathrm{A}\left(a-\frac{f(a)}m,0\right)$, $\displaystyle \mathrm{B}(0,f(a)-am)$. 따라서$\displaystyle \{g(m)\}^2=\left\{a-\frac{f(a)}m\right\}^2+\{f(a)-am\}^2$$\displaystyle h(m)=\{g(m)\}^2$은 $\displaystyle m=2$에서 최소이므로 제시문 (다)에 의하여 $\displaystyle h^{\prime}(2)=0$$\displaystyle h^{\prime}(m)=2\left\{a-\frac{f(a)}m\right\}\frac{f(a)}{m^2}-2a\{f(a)-am\}=2\{am-f(a)\}\left\{\frac{f(a)}{m^3}+a\right\}\ \cdots\cdots\ (＊)$이므로$\displaystyle 0=h^{\prime}(2)=\frac14\{2a-f(a)\}\{f(a)+8a\}=\frac{a^2}4(2+a^2+3a)(-a^2-3a+8)$$\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=\frac{-3+\sqrt{41}}2$

※ (＊)로부터 방정식 $\displaystyle h^{\prime}(m)=0$을 만족시키는 양수 $\displaystyle m$은 $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{f(a)}{-a}}$ 뿐이고 $\displaystyle \lim_{m\to0+}g(m)=\infty=\lim_{m\to\infty}g(m)$이므로 $\displaystyle g(2)$는 $\displaystyle g(m)$의 최솟값이다.