자연계열 2번

[논제 1] $\displaystyle \sum_{n=1}^6a_nb_n$의 값이 최대라고 하자. 만약 $\displaystyle i<j$일 때 $\displaystyle a_i>a_j$인 $\displaystyle a_i$와 $\displaystyle a_j$가 있으면 $\displaystyle \sum_{n=1}^6a_nb_n$ 중의 두 항 $\displaystyle a_ib_i$, $\displaystyle a_jb_j$를 각각 $\displaystyle a_ib_j$, $\displaystyle a_jb_i$로 바꾸었을 때 합의 변화량은$\displaystyle (a_ib_j+a_jb_i)-(a_ib_i+a_jb_j)=(a_i-a_j)(b_j-b_i)>0$이므로 $\displaystyle a_ib_j+a_jb_i>a_ib_i+a_jb_j$가 되어 $\displaystyle \sum_{n=1}^6a_nb_n$의 값이 최대가 아니다. 따라서 $\displaystyle \sum_{n=1}^6a_nb_n$의 값이 최대가 되기 위해서는 $\displaystyle a_1<a_2<a_3<a_4<a_5<a_6$이어야 한다. 그러므로① $\displaystyle k<-1$인 경우 : $\displaystyle k^5<k^3<k<k^2<k^4<k^6$이므로$\displaystyle f(1)=5,\ f(2)=3,\ f(3)=1,\ f(4)=2,\ f(5)=4,\ f(6)=6$② $\displaystyle -1<k<0$인 경우 : $\displaystyle k<k^3<k^5<k^6<k^4<k^2$이므로$\displaystyle f(1)=1,\ f(2)=3,\ f(3)=5,\ f(4)=6,\ f(5)=4,\ f(6)=2$

[논제 2] 제시문 (다)에 의하여 무게중심은 $\displaystyle \mathrm{G}_n\left(\frac{2n+1+2^{f(n)}}3,n+1\right)$이고, $\displaystyle \mathrm{G}_n$과 직선 $\displaystyle 3x+4y=0$ 사이의 거리 $\displaystyle d$는$\displaystyle d=\frac{|2n+1+2^{f(n)}+4n+4|}5=\frac{n+2^{f(n)}}5+n+1$따라서 $\displaystyle d$가 자연수이려면 $\displaystyle n+2^{f(n)}$이 $\displaystyle 5$의 배수이어야 한다.$\displaystyle 2^1=2$, $\displaystyle 2^2=4$, $\displaystyle 2^3=8$, $\displaystyle 2^4=16$, $\displaystyle 2^5=32$, $\displaystyle 2^6=64$이므로 각 $\displaystyle n=1,2,3,4,5,6$에 대하여 $\displaystyle n+2^{f(n)}$이 $\displaystyle 5$의 배수인 $\displaystyle f(n)$은 다음과 같다.

따라서 구하는 함수 $\displaystyle f(n)$은① $\displaystyle f(1)=2,\ f(2)=3,\ f(3)=1,\ f(4)=4,\ f(5)=5,\ f(6)=6$② $\displaystyle f(1)=2,\ f(2)=3,\ f(3)=5,\ f(4)=4,\ f(5)=1,\ f(6)=6$③ $\displaystyle f(1)=6,\ f(2)=3,\ f(3)=1,\ f(4)=4,\ f(5)=5,\ f(6)=2$④ $\displaystyle f(1)=6,\ f(2)=3,\ f(3)=5,\ f(4)=4,\ f(5)=1,\ f(6)=2$