동덕여대 2024학년도 수시 자연계열 2번 해설

[ 문제 2 ] 다음 제시문을 읽고 문항별로 구체적인 풀이 과정과 답을 제시하시오.

$\displaystyle x\ge0$ 에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 다음과 같다. $\displaystyle f(x)=\int_0^1|2t-x|dt$

(1) $\displaystyle f(x)$ 를 구하시오. (45점)

(2) $\displaystyle f(x)$ 가 최소가 되는 $\displaystyle x$ 를 구하고 $\displaystyle f(x)$ 의 최솟값을 구하시오. (15점)

동덕여대 2024학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/dongduk/2024su/jayeon_2

[문제 $\displaystyle 2 - 1$ ]

$\displaystyle 0 \le x \le 2$ 이면 $\displaystyle | 2 t - x |$ 는 $\displaystyle 0 \le t \le \frac{x}{2}$ 일 때 $\displaystyle x - 2 t$ 이며 $\displaystyle t > \frac{x}{2}$ 일 때 $\displaystyle 2 t - x$ 이다. $\displaystyle \cdots \cdots$ (1)

따라서 $\displaystyle f ( x ) = \int_{0}^{\frac{x}{2}} ( x - 2 t ) d t + \int_{\frac{x}{2}}^{1} ( 2 t - x ) d t = \Biggl[ x t - t^{2} \Biggr]_{0}^{\frac{x}{2}} + \Biggl[ t^{2} - x t \Biggr]_{\frac{x}{2}}^{1}\cdots \cdots$ (2)

$\displaystyle = \frac{x^{2}}{2} - x + 1\cdots \cdots$ (3)

$\displaystyle x > 2$ 일 때 적분 구간인 $\displaystyle 0 \le t \le 1$ 에서 $\displaystyle | 2 t - x | = x - 2 t\cdots \cdots$ (1) $\displaystyle ^{\prime}$

따라서 $\displaystyle f ( x ) = \int_{0}^{1} ( x - 2 t ) d t = \Biggl[ x t - t^{2} \Biggr]_{0}^{1}\cdots \cdots$ (4)

$\displaystyle = x - 1\cdots \cdots$ (5)

즉 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases}\frac{x^{2}}{2} - x + 1 & ( 0 \le x \le 2 ) \\ x - 1 & ( x > 2 )\end{cases}\cdots \cdots$ (6)

[문제 $\displaystyle 2 - 2$ ]

$\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = \begin{cases}x - 1 & ( 0 \le x \le 2 ) \\ 1 & ( x > 2 )\end{cases}\cdots \cdots$ (7)

$\displaystyle f ^{\prime} ( x ) = 0$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 값은 $\displaystyle x = 1\cdots \cdots$ (8)

함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle x$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle f ^{\prime} ( x )$	-	-	$\displaystyle 0$	+
$\displaystyle f ( x )$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \searrow$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \nearrow$

따라서 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x = 1$ 에서 최소이고, 최솟값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이다. $\displaystyle \cdots \cdots$ (9)

하위 문항	채점 기준	배점
(1)	$\displaystyle x$ 의 범위를 $\displaystyle 0≤x≤2$ 와 $\displaystyle x>2$ 또는 $\displaystyle 0≤x<2$ 와 $\displaystyle x≥2$ 로 적절히 나누어 각 범위에 대하여 $\displaystyle f(x)$ 를 구한 경우 (+45점) - 45점: (1)과 (1)′ 두 가지 범위로 나누어 정적분을 하였으며 (1)의 범위에서 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 각각 0부터 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 와 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 부터 1까지로 나누어 계산함으로써 (1)과 (1)′ 각 범위에서 $\displaystyle f(x)$ 를 정확히 구하여 (6)을 답안으로 제시한 경우 - 40점: (1)과 (1)′두 가지 범위로 나누어 정적분을 하였으며 (1)의 범위에서 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 각각 0부터 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 와 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 부터 1까지로 나누어 각 범위에서 $\displaystyle f(x)$ 를 구하되 (2)와 (4)는 정확히 제시했으나 계산에 오류가 있어 (3) 또는 (5) 둘 중 하나를 정확히 얻어내지 못한 경우 - 30점: (1)과 (1)′두 가지 범위로 나누어 정적분을 하였으며 (1)의 범위에서 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 각각 0부터 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 와 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 부터 1까지로 나누어 각 범위에서 $\displaystyle f(x)$ 를 구하되 (2)와 (4)는 정확히 제시했으나 계산에 오류가 있어 (3)과 (5)를 모두 정확히 얻어내지 못한 경우 - 20점: (1)과 (1)′두 가지 범위로 나누어 정적분을 하였으나 (1)의 범위에서 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 적절하게 나누지 못했거나 $\displaystyle t$ 의 범위를 나누지 않고 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(x-2t)dt$ 또는 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(2t-x)dt$ 등으로 구한 경우 $\displaystyle x$ 의 범위를 나누지 않고 (1)인 경우에 대한 답안만 작성하되 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 각각 0부터 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 와 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 부터 1까지로 나누어 $\displaystyle f(x)$ 를 구한 경우 (+35점) - 35점: $\displaystyle x$ 값의 범위를 나누지 않은 채로 (1)부터 (3)까지의 풀이 과정을 정확히 보이고 (3)을 답안으로 제시한 경우 - 30점: $\displaystyle x$ 값의 범위를 나누지 않은 채로 (1)부터 (2)까지의 풀이 과정을 정확히 제시했으나 정적분 계산에서 오류가 있어 (3)을 정확히 얻어내지 못한 경우 $\displaystyle x$ 의 범위를 나누지 않고 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위도 나누지 않은 채 단순히 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(x-2t)dt$ 또는 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(2t-x)dt$ 로 답을 구한 경우 (+10점) - 10점: $\displaystyle f(x)=\int_0^1(x-2t)dt=x-1$ 또는 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(2t-x)dt=1-x$ 를 답으로 제시한 경우 - 5점: $\displaystyle f(x)=\int_0^1(x-2t)dt$ 또는 $\displaystyle f(x)=\int_0^1(2t-x)dt$ 를 제시했지만 답을 얻어내지 못한 경우 문제의 의미를 알지 못함 (0점)	45
(2)	[문제 2(1)]에서 정적분 시 $\displaystyle t$ 의 범위를 각각 0부터 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 와 $\displaystyle \frac{x}{2}$ 부터 1까지로 나누어 계산하면 $\displaystyle x$ 에 대한 이차식을 얻는데 이 함수는 최솟값이 존재함. $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$ 를 [문제 2(1)]에서 정확히 얻어 내었으며 $\displaystyle f(x)$ 가 최소가 되는 $\displaystyle x$ 와 최솟값을 정확히 답한 경우 (+15점) - 15점: 증감표 또는 그래프를 이용하여 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 최소가 됨을 보이고 최솟값을 정확히 답한 경우 - 13점: $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 최소가 됨을 명확히 보이지는 않았으나 답은 맞은 경우 [문제 2(1)]에서 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-x+1$ 를 정확히 얻어 내지는 못하였으나 자신의 결과에 맞추어 $\displaystyle f(x)$ 가 최소가 되는 $\displaystyle x$ 와 최솟값을 얻어내기 위해 최대한 노력하였으며 논리 전개가 타당한 경우 (+5점) - 5점: 논리 전개가 타당하며 계산 과정에 오류가 없는 경우 문제의 의미를 알지 못함 (0점)	15

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자연계열 2번

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