자연계열 3번

[문제 $\displaystyle 3 - 1$]

인공지능 A 가 오답을 생성하는 사건을 $\displaystyle A$, 인공지능 B 가 오답을 생성하는 사건을 $\displaystyle B$라 하면, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( A ) = 0.01 , {\mathrm{P}} ( B ) = 0.005 , {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = 0.0002$이다.

적어도 한 인공지능이 오답을 생성했을 확률

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( A \cup B ) = {\mathrm{P}} ( A ) + {\mathrm{P}} ( B ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = 0.01 + 0.005 - 0.0002 = 0.0148\cdots \cdots$(1)

인공지능 A 만 오답을 생성했을 확률

$\displaystyle {\mathrm{P}} \left( A \cap B^{c} \right) = {\mathrm{P}} ( A ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B ) = 0.01 - 0.0002 = 0.0098\cdots \cdots$(2)

적어도 한 인공지능이 오답을 생성했을 때 인공지능 A만 오답을 생성했을 확률

$\displaystyle {\mathrm{P}} \left( A \cap B^{c} | A \cup B \right) = \frac{{\mathrm{P}} \left( A \cap B^{c} \right) \cap {\mathrm{P}} ( A \cup B )}{{\mathrm{P}} ( A \cup B )} = \frac{{\mathrm{P}} \left( A \cap B^{c} \right)}{{\mathrm{P}} ( A \cup B )} = \frac{{\mathrm{P}} ( A ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B )}{{\mathrm{P}} ( A \cup B )}$

$\displaystyle \frac{{\mathrm{P}} ( A ) - {\mathrm{P}} ( A \cap B )}{{\mathrm{P}} ( A \cup B )} = \frac{0.0098}{0.0148} = \frac{98}{148} = \frac{49}{74}\cdots \cdots$(3)

$\displaystyle a = 74 , b = 49 , a + b = 123$

[문제 $\displaystyle 3 - 2$]

정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( m , \sigma^{2} \right)$을 따르는 확률변수 $\displaystyle X$에 대하여 $\displaystyle Z = \frac{X - m}{\sigma}$이라 하면 확률변수 $\displaystyle Z$는 표준정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 0 , 1^{2} \right)$을 따르므로

$\displaystyle {\mathrm{P}} ( | X - m | \le 10 ) = {\mathrm{P}} \left( \frac{| X - m |}{\sigma} \le \frac{10}{\sigma} \right) ( \because \sigma > 0 )$

$\displaystyle {\mathrm{P}} \left( | Z | \le \frac{10}{\sigma} \right) = 2 {\mathrm{P}} \left( 0 \le Z \le \frac{10}{\sigma} \right) = 0.9544 \therefore {\mathrm{P}} \left( 0 \le Z \le \frac{10}{\sigma} \right) = 0.4772$

주어진 표준정규분포표에서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 2 ) = 0.4772$이므로, $\displaystyle \frac{10}{\sigma} = 2 \therefore \sigma = 5\cdots \cdots$(1)

또한, $\displaystyle {\mathrm{P}} ( X \le 25 ) = {\mathrm{P}} \left( Z \le \frac{25 - m}{5} \right) = 0.5 + {\mathrm{P}} \left( 0 \le Z \le \frac{25 - m}{5} \right) = 0.8413$에서 P $\displaystyle \left( 0 \le Z \le \frac{25 - m}{5} \right) = 0.3413$

주어진 표준정규분포표에서 $\displaystyle {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 1 ) = 0.3413$이므로, $\displaystyle \frac{25 - m}{5} = 1 \therefore m = 20\cdots \cdots$(2)

확률변수 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 20 , 5^{2} \right)$을 따르므로 크기가 $\displaystyle 25$인 표본의 표본 평균을 $\displaystyle \bar{X}$라 하면, $\displaystyle \bar{X}$는 정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 20 , \frac{5^{2}}{25} \right)$, 즉 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 20 , 1^{2} \right)$을 따른다. $\displaystyle \cdots \cdots$(3)

이때, $\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - 20}{1}$이라 하면 확률변수 $\displaystyle Z$는 표준정규분포 $\displaystyle {\mathrm{N}} \left( 0 , 1^{2} \right)$을 따르므로 임의추출한 $\displaystyle 25$개의 표본 에서 "통증" 이라는 단어가 등장한 총 횟수가 $\displaystyle 525$회 이상일 확률은,

$\displaystyle p = {\mathrm{P}} ( 25 \bar{X} \ge 525 ) = {\mathrm{P}} ( \bar{X} \ge 21 ) = {\mathrm{P}} \left( Z \ge \frac{21 - 20}{1} \right)$

$\displaystyle = {\mathrm{P}} ( Z \ge 1 ) = 0.5 - {\mathrm{P}} ( 0 \le Z \le 1 ) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587\cdots \cdots$(4)